接觸希臘人：期權定價綜合指南

考慮到科技和生命科學領域初創公司的激增，期權贈款作為一種補償形式變得更加普遍。 然而，他們的定價被廣泛誤解，許多員工將期權視為通向未來財富的令人困惑的門票。

在授予時不將期權價格設定為或接近公允市場價值 (FMV) 會產生後果，例如美國的 IRC 409A 對低於 FMV 授予的期權徵收刑事稅率。

鑑於此，我寫了這篇文章來介紹期權定價的基礎知識，使其盡可能廣泛地有用，它不受任何特定的稅法或管轄區的約束。 討論的原則主要適用於上市股票的交易期權，但許多啟發式方法可以應用於非交易期權或非交易股票期權。

期權估值基礎

期權到期時的價值

期權以看漲期權和看跌期權的形式出現，授予買方權利，但不授予買方義務。 結果，普通的普通期權在到期時可能有價值或一文不值。 由於購買後沒有淨現金流出，它們對買家來說不可能是負值。 普通期權的賣方處於交易的另一端，只能損失與買方收益一樣多的損失。 當這是唯一的交易時，這是一個零和遊戲。

建模調用

對股票的認購授予了以行使價購買標的物的權利，但沒有義務。 如果現貨價格高於行使價，看漲期權的持有人將在到期時行使。 到期時的收益（而非利潤）可以使用以下公式建模並繪製在圖表中。

看漲期權的 Excel 公式： = MAX (0, Share Price - Strike Price)

建模看跌期權

以同樣的方式，賦予以行使價賣出的權利的看跌期權可以建模如下。

看跌期權的 Excel 公式： = MAX(0, Strike Price - Share Price)

期權的貨幣性及其相關性

根據任何時間點的行使價和股票價格，期權定價可能在價內、價內或價外：

• 當行使價和股票價格相同時，期權是平價期權。
• 當看漲期權的行使價低於股票價格時，它是價內的（看跌期權則相反）。
• 當看漲期權的行使價高於股票價格（看跌期權相反）時，它是價外的。

價外期權和價外期權對它們沒有任何內在價值，但在到期前可能具有時間價值。 貨幣性的區別是相關的，因為期權交易交易所根據期權是否為價內而在到期時自動行使規則。 例如：CBOE的規則是：

期權清算公司規定在到期時自動行使某些價內期權，這一程序也稱為例外行使。 通常，OCC 將自動行使任何即將到期的股票看漲期權或存入價值 0.01 美元或更多的客戶賬戶，以及價值 0.01 美元或更多的指數期權。 但是，特定經紀公司對此類自動行權的門檻可能與 OCC 相同，也可能不同。

因此，期權定價將取決於到期時的現貨價格是高於還是低於行使價。 直觀地說，期權在到期前的價值將基於某種衡量它在現金流以適當利率貼現的情況下處於價內的概率。

Black-Scholes-Merton (BSM) 期權估值模型

儘管自希臘、羅馬和腓尼基文明的歷史時期以來，期權就一直在使用，但 Fisher Black 最初在 1973 年提出了這種期權定價模型，現在被廣泛使用，並將其與物理學中傳熱公式的推導聯繫起來。 Scholes 和 Merton 對模型的修改將其演變為 Black-Scholes-Merton 模型。 公式如下所示：

• 調用： \(C_t = S_t e^{- \delta T} N \left (d_1 \right ) - K e^{ \left (- r T \right)} N \left (d_2 \right )\)
• 放置： \(p_t = K e^{ \left (- r T \right )} N(d_2) - S_t e^{- \delta T} N(- d_1)\)
• \(d_1 = \ln\left ( \frac{S_0}{K} \right ) + \left ( r + \frac{\sigma ^2}{2} \right )\left ( \frac{T}{\西格瑪 \sqrt{T}} \right )\)
• \(d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\)

讓我們不要被這些複雜的公式所淹沒，首先要了解模型實際顯示的內容。 對於看漲期權，它們在到期前的價值將取決於標的股票的現貨價格及其貼現值，然後是執行價格及其貼現值，最後是某種概率度量。 該組件的分解如下：

• \(e^{ \left ( - r T \right )}\) 和 \(e^{- \delta T}\) 是對行使期權的現金流出和現金流入應用連續複利的方法。
• K 和 S 分別是執行價格和現貨價格。

計算的其餘部分都是關於以連續複合折現率折現現金流出，調整任何股息或到期前的現金流量，以及使用正態分佈的概率。

概率假設

BSM 模型假設連續複合收益的正態分佈（鐘形曲線分佈或高斯分佈）。 該模型還暗示，隨著當前股票價格與行使價的比率增加，行使看漲期權的概率增加，使 N(d) 因子接近 1，並暗示不行使期​​權的不確定性降低。 隨著 N(d) 因子越來越接近 1，公式的結果越來越接近看漲期權的內在價值。 另一個含義是，當方差 (σ) 增加時，N(d) 因素會發散並使看漲期權更有價值。

N(D2) 是股票價格在到期時高於行使價的概率。 N(D1) 是僅當股票價格高於行使價時計算到期現金/股票流入的預期值的術語。 N(D1) 是條件概率。

看漲期權買方的收益來自到期時發生的兩個因素：

1. 現貨必須高於行使價。 （方向）。
2. 到期時的現貨價格和執行價格之間的差異（量子）。

想像一下，執行價格為 100 美元的看漲期權。 如果股票的現貨價格為 101 美元或 150 美元，則滿足第一個條件。 第二個條件是關於收益是 1 美元還是 50 美元。 術語 D1 將這兩者結合成一個條件概率，即如果到期的現貨高於行使價，其相對於當前現貨價格的預期值將是多少。

在 Excel 中設置 BSM 模型

以下模型是我在 Excel 中用於 BSM 計算的模型（陰影單元格是鏈接到其他單元格的計算）：

公式如下：

單元格 B2 = 估值日期 單元格 B3 = 股票/現貨價格 單元格 B4 = 執行價格 單元格 B5 = 隱含波動率 單元格 B6 = 無風險年化利率 單元格 B7 = 到期時間（計算為 (B10-B2)/365） 單元格B8 = 股息收益率（計算為 B11/B3） 單元格 B9 = 期權數量（設置為 1，用於計算不基於合約的價值） D1 =(LN((B3\EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7))單元格B14 = D2 = B13-B5SQRT(B7) 單元格 B15 = N(D1) = NORMSDIST(B13) 單元格 B16 = N(D2) = NORMSDIST(B14) 單元格 B17 = 調用 = (B3\EXP(-B8\B7))\ B15-B4\EXP(-B6\B7)\B16 單元格 B18 = 放置 = (B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)

標的的現金流

看漲期權讓買方享受股票的上漲空間，而無需真正持有一段時間直至到期。 直觀地說，如果在持有期間支付了上漲空間，那麼看漲期權的價值應該會降低，因為期權持有者沒有獲得上漲空間的權利。 當然，在看跌期權的情況下，情況正好相反。 這種直覺可以在以下圖表中看到，其中股息為 0%、2% 和 5% 的股息支付股票。 該模型假設股息也以連續複利的利率支付。

現在由於美國稅法的變化正在討論特別股息，值得一提的是，您將看到交易期權的調整因素，即一次性股息高於股價的一定百分比。 一次性特別股息對期權定價有很大影響。 2004 年，當 MSFT 宣布額外的一次性特別股息為每股 3 美元，而正常的季度為 0.08 美元時，期權進行了調整。

對因素或期權的敏感性希臘人

期權行業委員會 (OIC) 有一個免費計算器，可以顯示交易的期權價值和希臘字母。 我從期權行業委員會的網站上分析了 2018 年 10 月 1 日以來 AAPL 的價值。

Delta 和 Gamma 或現貨價格

下圖是 2018 年 10 月 12 日到期的 2018 年 10 月 1 日的 AAPL 看跌期權，垂直線表示最後價格。

以下是 2018 年 10 月 12 日至 2018 年 10 月 1 日到期的 AAPL 電話。

看漲期權和看跌期權的最後交易價格與執行價格明顯相關，並形成了這個曲棍球棒式圖表。 點與線不對齊的原因是因為一些期權在 10 月 1 日沒有交易，而且這些期權的最後交易價格較舊，尤其是對於深度實值期權。

當 AAPL 的現貨價格發生變化時會發生什麼？ AAPL 在交易所的價格變化以納秒為單位。 直觀地說，基於 BSM 模型，期權定價也應該改變。 這是由 Delta 來衡量的，它是期權價值如何隨現貨價格變化而變化的近似值。 它是期權價值變動 1 美元標的資產變動幅度的近似值。

Delta 用作對沖比率。 如果您希望使用 delta 為 0.5 的期權對沖標的頭寸，您將需要兩個期權 (2 x 0.5) 來完全對沖頭寸（並使其成為 delta 中性）。 不過，Delta 是一個近似值。 它適用於價格的小幅波動和短時間。 我們在下面看到了調用與股價變化的關係，以及相同股價範圍內 delta 的變化。 認購價格不會像一條線一樣平滑移動，因此計算出的 delta 會像曲線一樣移動。 這在接近執行價格時變得更加明顯。

變化的 delta 變化為 1 美元的標的值稱為 Gamma。 Gamma 始終為正值，Delta 對於看漲期權為正數，對於看跌期權為負數（對於買方）。 這也意味著對於一個看漲期權，當它從價外變為價內時，將發生最高百分比的變化，反之亦然。 隨著執行價格遠離現貨價格（對於深度價外或價內期權頭寸），Gamma 或 delta 變化率接近零。

Theta 或時間值

期權的價格取決於它需要​​多長時間才能到期。 直觀地說，到期時間越長，它最終成為價內的可能性就越高。 因此，期限較長的期權往往具有更高的價值，無論它們是看跌期權還是看漲期權。 隨著時間臨近到期，時間值隨後衰減為 0。

衰減率不是一條直線。 用滾下斜坡的球來類比更容易想到它。 隨著球滾下斜坡，速度會加快——最慢的是在頂部，而最快的是在底部（到期時）。 衰減率由 Theta 表示，對於看漲期權和看跌期權都是正數。

Rho 或利率

利率通過用作貼現率對期權價值產生影響。 直觀地說，看漲期權意味著在不拋出全價的情況下獲得持有標的股票的好處。 因為看漲期權的買家不需要購買股票的全價，所以理論上可以投資全價和看漲期權之間的差價，因此看漲期權應該具有更高的貼現率。 對利率的敏感性由 Rho 衡量，較高的利率會增加看漲期權的價值，反之亦然。

Vega 或波動率

Vega，雖然實際上不在希臘字母表中，但用於表示期權價值對波動性的敏感性。 波動性是指價格上漲或下跌的可能幅度。 現貨價格的波動性越高，價格達到罷工的可能性就越大。 因此，波動率越高，期權的價格就越高。

波動率通常使用隱含波動率 (I") 回填。 隱含波動率是使用 BSM 模型計算的，使用期權的交易價格。 IV 通過 VIX 期權本身已成為一種可交易的資產類別。

如果您在非常平靜的市場中購買期權，並且標的物價格突然上漲和下跌，價格最終回到之前的水平，您可能會看到期權定價的價值增加了。 這是對其 IV 估計的修訂。

總結 Vega 以及其他希臘人對期權價格的影響，請參閱下表。

看跌期權平價和用例

想像一下，你有一個投資組合，創造性地命名為“A”，它只有一個歐洲對 AAPL 的看漲期權，行使價 250 美元，到期日為 2018 年 12 月 21 日，以及一股基礎的 A​​PPL 股票：

然後，您創建另一個投資組合“B”，其中只有一個歐洲對 AAPL 的看漲期權，行使價 250 美元，到期日為 2018 年 12 月 21 日，以及一個在同一天到期的美國政府國庫券，到期價值為 250 美元。

如您所見，投資組合 A 和投資組合 B 在到期時具有相同的收益。 這個原則被稱為看跌期權平價。 另一種表述方式是：

這個方程可以重新排列以模擬其他位置：

1. 通過以無風險利率借入資金，持有標的資產和看跌期權，您就創建了一個合成看漲期權。
2. 在持有國庫券和看漲期權的同時做空底層證券，您就有了合成看跌期權。
3. 如果您想在持有標的股票的同時賺取國債（即無風險）利率，則持有看跌期權並做空看漲期權。
4. 您還可以通過持有看漲期權、賣空看跌期權和持有國庫券來模擬持有底層證券。

這僅適用於相同執行價格的歐式到期、看漲期權和看跌期權。

員工非交易期權

非交易公司的員工股票期權與交易所交易期權的不同之處在於：

1. 價內沒有自動行權。
2. 歸屬要求限制了流動性。
3. 交易對手風險較高，因為您通過抵押交易所直接與私人公司打交道。
4. 投資組合集中度也更加極端，因為可用的多元化措施較少。

除了這些，我們知道，估值對於民營企業來說也是一個完全不同的球賽。 正如我們所討論的，delta（股票價格）、theta（時間價值）、rho（利率）和 vega（波動率）是期權估值的重要決定因素。 這些使得員工股票期權的估值更具挑戰性，因為 Delta、Gamma 和 Volatility 特別難以確定，因為股票本身可能不會交易。

對於持有股票期權的員工，要記住的關鍵因素是：

1. 波動性對估值有關鍵影響。
2. 由於時間價值導致的期權衰減本質上不是線性的。 記住球滾下山的比喻。
3. 期權估值既是內在價值，也是時間價值。 沒有內在價值並不意味著期權一文不值，時間可以治愈所有的傷口，也可以縮小差距。 當您收到期權授予時，它通常是平價或價外，沒有內在價值。 隨著股票上漲跟踪內在價值是直觀的，但時間價值，即早期行使的機會成本，並不總是直觀或考慮在內。 由於這種機會成本，您應該僅出於一些正當理由（例如需要現金流、投資組合多樣化或股票前景）提前行使期權。

離別的想法和詞彙表

當您了解它們的組件時，選項並不那麼複雜。 將它們視為更靈活的構建塊，允許您以較低資本密集度的方式構建和管理金融投資組合。 了解希臘人的含義是理解他們行為的第一步。

作為一個簡短的詞彙表，以下是整篇文章中提到的一些關鍵術語，並以簡潔的方式進行了總結：

• 看漲和看跌——看漲期權是一種沒有義務在指定日期或之前以約定價格購買標的資產的期權。 看跌期權是一種沒有義務在指定日期或之前以約定價格出售標的資產的期權。
• 溢價–買方支付給期權賣方（作者）的價格稱為溢價。 它是交易時期權的估值。
• 行使/行使價和現貨價格——行使或行使價是使用期權購買/出售標的資產的指定價格。 現貨價格是現貨市場上標的資產的價格。
• 收益——期權到期時的淨現金流。 現金流量之一是行使價，另一個是資產的市場價值。
• 歐式和美式行權——歐式期權只能在到期前的特定時期內行權。 美式期權可以在到期時或到期之前的任何時間行使。
• 時間價值和內在價值——時間價值是一次溢價減去內在價值。 期權的內在價值是任何時候的執行價格和現貨價格之間的差額。