Se rendre chez les Grecs : le guide complet de la tarification des options

Les subventions d'options sont devenues encore plus courantes comme forme de rémunération, compte tenu de la prolifération des startups dans les domaines de la technologie et des sciences de la vie. Leur tarification, cependant, est largement mal comprise et de nombreux employés voient les options comme un ticket déroutant vers la richesse future.

Il y a des conséquences à ne pas fixer le prix des options à ou près de la juste valeur marchande (JVM) au moment de l'octroi, comme l'IRC 409A aux États-Unis qui impose un taux d'imposition pénal sur les options octroyées en dessous de la JVM.

À la lumière de cela, j'ai écrit cet article pour couvrir les bases de la tarification des options, pour le rendre aussi largement utile que possible, il n'est lié à aucun code fiscal ou juridiction spécifique. Les principes discutés s'appliquent principalement aux options négociées sur des actions cotées, mais bon nombre des heuristiques peuvent être appliquées à des options non négociées ou à des options sur des actions non négociées.

Bases de l'évaluation des options

Valeur des options à l'échéance

Les options, qui se présentent sous la forme d'options d'achat et de vente, confèrent un droit, mais pas une obligation à un acheteur. En conséquence, les options à la vanille peuvent valoir quelque chose ou rien à l'expiration ; ils ne peuvent pas avoir une valeur négative pour un acheteur puisqu'il n'y a pas de sorties de trésorerie nettes après l'achat. Un vendeur d'options vanille ordinaire est du côté opposé du commerce et ne peut perdre que ce que l'acheteur gagne. C'est un jeu à somme nulle lorsqu'il s'agit de la seule transaction.

Appels de modélisation

Un appel sur une action confère un droit, mais pas une obligation, d'acheter le sous-jacent au prix d'exercice. Si le prix au comptant est supérieur au prix d'exercice, le détenteur d'un call l'exercera à l'échéance. Le gain (et non le profit) à l'échéance peut être modélisé à l'aide de la formule suivante et tracé dans un graphique.

Formule Excel pour un Call : = MAX (0, Share Price - Strike Price)

Puts de modélisation

De la même manière, un put qui donne le droit de vendre au prix d'exercice peut être modélisé comme ci-dessous.

Formule Excel pour un put : = MAX(0, Strike Price - Share Price)

Le caractère monétaire d'une option et sa pertinence

Sur la base du prix d'exercice et du cours de l'action à tout moment, le prix de l'option peut être dans, à ou hors de la monnaie :

• Lorsque le prix d'exercice et le prix des actions sont identiques, l'option est à parité.
• Lorsque le prix d'exercice d'un appel est inférieur au cours de l'action, il est dans la monnaie (inverse pour un put).
• Lorsque le prix d'exercice d'un appel est supérieur au cours de l'action (inverse pour un put), il est hors de la monnaie.

Les options hors de la monnaie et à la monnaie n'ont aucune valeur intrinsèque mais peuvent avoir une valeur temps avant l'échéance. La distinction de la valeur monétaire est pertinente puisque les bourses d'échange d'options ont des règles d'exercice automatique à l'expiration selon qu'une option est dans la monnaie ou non. Par exemple :, les règles du CBOE sont :

L'Options Clearing Corporation prévoit l'exercice automatique de certaines options dans le cours à leur expiration, une procédure également appelée exercice par exception. En règle générale, OCC exercera automatiquement tout appel d'actions expirant ou placera dans un compte client qui est de 0,01 $ ou plus dans le cours, et une option sur indice qui est de 0,01 $ ou plus dans le cours. Cependant, le seuil d'une société de courtage spécifique pour un tel exercice automatique peut ou non être le même que celui de l'OCC.

Le prix de l'option dépendra donc du fait que le prix au comptant à l'expiration est supérieur ou inférieur au prix d'exercice. Intuitivement, la valeur d'une option avant l'expiration sera basée sur une certaine mesure de la probabilité qu'elle soit dans le cours avec le flux de trésorerie actualisé à un taux d'intérêt approprié.

Modèle d'évaluation des options Black-Scholes-Merton (BSM)

Bien que les options soient utilisées depuis la période historique des civilisations grecque, romaine et phénicienne, Fisher Black a initialement proposé ce modèle de tarification des options en 1973, largement utilisé maintenant, en le liant à la dérivation de la formule de transfert de chaleur en physique. Les modifications apportées au modèle par Scholes et Merton l'ont transformé en modèle Black-Scholes-Merton. La formule se présente comme suit :

• Appels : \(C_t = S_t e^{- \delta T} N \left (d_1 \right ) - K e^{ \left (- r T \right)} N \left (d_2 \right )\)
• Met : \(p_t = K e^{ \left (- r T \right )} N(d_2) - S_t e^{- \delta T} N(- d_1)\)
• \(d_1 = \ln\left ( \frac{S_0}{K} \right ) + \left ( r + \frac{\sigma ^2}{2} \right )\left ( \frac{T}{\ sigma \sqrt{T}} \right )\)
• \(d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\)

Ne nous laissons pas submerger par ces formules élaborées et comprenons d'abord ce que le modèle montre réellement. Pour les appels, leur valeur avant l'échéance dépendra du prix au comptant de l'action sous-jacente et de sa valeur actualisée, puis du prix d'exercice et de sa valeur actualisée et enfin, d'une mesure de probabilité. Les composants de celui-ci se décomposent comme suit :

• \(e^{ \left ( - r T \right )}\) et \(e^{- \delta T}\) sont des moyens d'appliquer une capitalisation continue à une sortie et à une entrée de trésorerie résultant de l'exercice de l'option.
• K et S sont respectivement les prix d'exercice et les prix au comptant.

Le reste du calcul consiste à actualiser les sorties de trésorerie à un taux d'actualisation composé en continu, à ajuster pour tout dividende ou flux de trésorerie avant l'échéance et, pour la probabilité en utilisant une distribution normale.

Hypothèses de probabilité

Le modèle BSM suppose une distribution normale (distribution en cloche ou distribution gaussienne) de rendements continuellement composés. Le modèle implique également qu'à mesure que le rapport entre le cours actuel de l'action et le prix d'exercice augmente, la probabilité d'exercer l'option d'achat augmente, en rapprochant les facteurs N(d) de 1, ce qui implique que l'incertitude de ne pas exercer l'option diminue. Lorsque les facteurs N(d) se rapprochent de 1, le résultat de la formule se rapproche de la valeur de la valeur intrinsèque de l'option d'achat. L'autre implication est que lorsque la variance (σ) augmente, les facteurs N(d) divergent et augmentent la valeur de l'option d'achat.

N(D2) est la probabilité que le cours de l'action soit supérieur au prix d'exercice à l'échéance. N(D1) est le terme utilisé pour calculer la valeur attendue des entrées de trésorerie/actions à l'échéance uniquement si le cours de l'action est supérieur au prix d'exercice. N(D1) est une probabilité conditionnelle.

Un gain pour l'acheteur d'options d'achat découle de deux facteurs survenant à l'échéance :

1. Le spot doit être au-dessus du prix d'exercice. (Direction).
2. La différence entre les prix au comptant et d'exercice à l'échéance (Quantum).

Imaginez, un appel au prix d'exercice de 100 $. Si le prix au comptant de l'action est de 101 $ ou 150 $, la première condition est remplie. La deuxième condition est de savoir si le gain est de 1 $ ou de 50 $. Le terme D1 combine ces deux en une probabilité conditionnelle que si le spot à l'échéance est supérieur au prix d'exercice, quelle sera sa valeur attendue par rapport au prix au comptant actuel.

Configuration du modèle BSM dans Excel

Le modèle suivant est celui que j'utilise dans Excel pour les calculs BSM (les cellules grisées sont des calculs liés à d'autres cellules) :

La formule pour cela est la suivante :

Cellule B2 = Date d'évaluation Cellule B3 = Action/Prix au comptant Cellule B4 = Prix d'exercice Cellule B5 = Volatilité implicite Cellule B6 = Taux sans risque annualisé Cellule B7 = Délai d'expiration en années (Calculé comme (B10-B2)/365) Cellule B8 = Rendement du dividende (Calculé comme B11/B3) Cellule B9 = Nombre d'options (réglez-la sur 1, pour calculer la valeur non basée sur un contrat) Cellule B10 = Date d'expiration Cellule B11 = Dividende annuel en termes de devise Cellule B13 = D1 =(LN((B3\EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7)) Cellule B14 = D2 = B13-B5SQRT(B7) Cellule B15 = N(D1) = NORMSDIST(B13) Cellule B16 = N(D2) = NORMSDIST(B14) Cellule B17 = Appel = (B3\EXP(-B8\B7))\ B15-B4\EXP(-B6\B7)\B16 Cellule B18 = Mettre = (B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)

Flux de trésorerie du sous-jacent

Un appel permet à l'acheteur de profiter de la hausse d'une action sans vraiment la conserver pendant une période jusqu'à son expiration. Intuitivement, si la hausse est payée pendant la période de détention, alors les appels devraient avoir moins de valeur puisque le droit à cette hausse n'est pas dérivé par le détenteur de l'option. Bien sûr, l'inverse s'applique dans le cas des options de vente. Cette intuition peut être vue dans les graphiques suivants pour une action versant un dividende avec 0%, 2% et 5% de dividende. Le modèle suppose que les dividendes sont également versés à un taux continuellement composé.

Maintenant que les dividendes spéciaux sont en cours de discussion en raison des modifications apportées au code fiscal américain, il convient de mentionner que vous verrez un facteur d'ajustement pour les options négociées pour les dividendes uniques supérieurs à un certain pourcentage du cours de l'action. Les dividendes spéciaux uniques ont un impact important sur le prix des options. En 2004, lorsque MSFT a annoncé un dividende spécial unique supplémentaire de 3 $ par action contre son taux trimestriel normal de 0,08 $, les options ont été ajustées.

Sensibilité aux facteurs ou options grecques

Options Industry Council (OIC) a une calculatrice gratuite qui affichera les valeurs d'options négociées et les grecs. J'ai analysé les valeurs de l'AAPL à partir du 1er octobre 2018 sur le site Web de l'Options Industry Council.

Delta et Gamma ou prix au comptant

Le graphique suivant concerne les options de vente AAPL expirant le 12 octobre 2018 le 1er octobre 2018, la ligne verticale indiquant le dernier prix.

Ce qui suit concerne les appels AAPL expirant le 12 octobre 2018 le 1er octobre 2018.

Le dernier prix échangé des appels et des options de vente est clairement corrélé au prix d'exercice et forme ce graphique à la manière d'un bâton de hockey. La raison pour laquelle les points ne s'alignent pas sur une ligne est que certaines des options n'ont pas été négociées le 1er octobre et que le dernier prix négocié de ces options est plus ancien, en particulier pour les options profondément dans la monnaie.

Que se passe-t-il lorsque le prix au comptant change pour AAPL ? Le prix d'AAPL change par nanosecondes à la bourse. Intuitivement, et sur la base du modèle BSM, la tarification des options devrait également changer. Ceci est mesuré par Delta, qui est l'approximation de la façon dont la valeur d'une option change pour un changement de prix au comptant. Il s'agit d'une valeur approximative de la variation de la valeur de l'option pour un changement de 1 $ du sous-jacent.

Delta est utilisé comme ratio de couverture. Si vous cherchez à couvrir une position sous-jacente avec une option qui a un delta de 0,5, vous aurez besoin de deux options (2 x 0,5) pour couvrir complètement la position (et la rendre delta neutre). Delta est une approximation, cependant. Cela fonctionne bien pour un petit mouvement de prix et pour de courtes périodes de temps. Nous voyons la relation entre l'appel et les variations du cours des actions ci-dessous ainsi que la variation du delta sur la même fourchette de cours des actions. Les prix des appels ne se déplacent pas en douceur comme une ligne et par conséquent, le delta calculé se déplace comme une courbe. Cela devient plus visible plus près du prix d'exercice.

Le changement de delta pour un changement de valeur de 1 $ du sous-jacent est appelé Gamma. Gamma est toujours une valeur positive et Delta est positif pour un call et négatif pour un put (pour l'acheteur). Cela signifie également que pour un appel, le pourcentage de variation le plus élevé se produira lorsqu'il passera d'être hors du cours à dans le cours, ou vice-versa. Gamma ou le taux de variation du delta s'approche de zéro lorsque le prix d'exercice s'éloigne du prix au comptant (pour les positions d'options profondément hors du cours ou dans le cours).

Thêta ou valeur temporelle

Le prix d'une option dépend de la durée de son expiration. Intuitivement, plus le délai d'expiration est long, plus la probabilité qu'il se retrouve dans la monnaie est élevée. Par conséquent, les options à plus longue échéance ont tendance à avoir des valeurs plus élevées, qu'il s'agisse d'options de vente ou d'achat. La valeur de temps décroît ensuite jusqu'à 0 lorsqu'elle approche de l'expiration.

Le taux de décroissance n'est pas une ligne droite. Il est plus facile d'y penser en utilisant l'analogie d'une balle dévalant une pente. La vitesse augmente à mesure que la balle roule plus bas sur la pente - la plus lente étant en haut et la plus rapide en bas (à l'expiration). Le taux de décroissance est représenté par Theta et est positif pour les appels et les options de vente.

Rho ou taux d'intérêt

Les taux d'intérêt ont un impact sur la valeur de l'option par leur utilisation comme taux d'actualisation. Intuitivement, les appels impliquent d'obtenir l'avantage de détenir les actions sous-jacentes sans verser le prix total. Étant donné qu'un acheteur d'achat n'a pas besoin d'acheter le prix total de l'action, la différence entre le prix total de l'action et l'option d'achat pourrait théoriquement être investie et, par conséquent, l'option d'achat devrait avoir une valeur plus élevée pour des taux d'actualisation plus élevés. La sensibilité aux taux d'intérêt est mesurée par Rho, des taux d'intérêt plus élevés augmentant la valeur des appels et vice-versa pour les options de vente.

Véga ou volatilité

Vega, bien qu'il ne soit pas réellement dans l'alphabet grec, est utilisé pour désigner la sensibilité de la valeur de l'option à la volatilité. La volatilité fait référence à l'ampleur possible des mouvements de prix à la hausse ou à la baisse. Plus la volatilité d'un prix au comptant est élevée, plus la probabilité que le prix atteigne le prix d'exercice est élevée. Ainsi, plus la volatilité est élevée, plus le prix des options est élevé.

La volatilité est généralement remplie à l'aide de la volatilité implicite (I"). La volatilité implicite est calculée avec le modèle BSM, en utilisant les prix négociés des options. IV est devenu une classe d'actifs négociée à part entière via les options VIX.

Si vous achetez une option sur un marché très calme et qu'il y a une hausse et une baisse soudaines du prix du sous-jacent, le prix revenant là où il était avant, vous pouvez voir que le prix de l'option a augmenté en valeur. Cela provient d'une révision de son estimation IV.

Pour résumer l'effet de Vega, et en fait des autres Grecs, sur les prix des options, veuillez vous référer au tableau suivant.

Parité put-call et cas d'utilisation

Imaginez que vous ayez un portefeuille, nommé de manière créative "A", qui n'a qu'un appel européen sur AAPL à 250 $ expirant le 21 décembre 2018, et une action de l'action APPL sous-jacente :

Ensuite, vous créez un autre portefeuille, "B", qui n'a qu'un appel européen sur AAPL à 250 $ d'exercice expirant le 21 décembre 2018, et un bon du Trésor américain arrivant à échéance le même jour pour une valeur à l'échéance de 250 $.

Comme vous pouvez le voir, le portefeuille A et le portefeuille B ont le même gain à l'expiration. Ce principe est appelé parité put-call. Une autre façon de l'énoncer est :

Cette équation peut être réorganisée pour imiter d'autres positions :

1. Conservez le sous-jacent et un put, en empruntant des fonds à taux sans risque et vous avez créé un call synthétique .
2. Court le sous-jacent tout en possédant un T-bill et un call et vous avez un put synthétique.
3. Si vous souhaitez gagner des taux du Trésor (c'est-à -dire sans risque ) tout en détenant une action sous-jacente, maintenez l'option de vente et vendez l'option d'achat.
4. Vous pouvez également imiter la détention du sous-jacent en détenant un appel, en vendant à découvert une option de vente et en détenant un bon du Trésor.

Cela ne fonctionnera qu'avec une expiration, des appels et des options de vente de style européen au même prix d'exercice.

Options non négociées des employés

Les options sur actions des employés pour les sociétés non cotées diffèrent des options cotées en bourse de différentes manières :

1. Il n'y a pas d'exercice automatique lorsqu'il est dans la monnaie.
2. Les exigences d'acquisition limitent la liquidité.
3. Le risque de contrepartie est plus élevé, car vous traitez directement avec une société privée, via un échange garanti.
4. La concentration du portefeuille est également plus extrême, car il existe moins de mesures de diversification disponibles.

En plus de cela, comme nous le savons, l'évaluation est également un jeu de balle complètement différent pour les entreprises privées. Comme nous en avons discuté, delta (cours des actions), thêta (valeur temps), rho (taux d'intérêt) et vega (volatilité) sont des déterminants importants de l'évaluation des options. Celles-ci rendent l'évaluation des options d'achat d'actions des employés plus difficile, car Delta, Gamma et Volatilité sont particulièrement difficiles à déterminer, car l'action elle-même peut ne pas être négociée.

Pour un employé détenant des options d'achat d'actions, les facteurs clés à garder à l'esprit sont les suivants :

1. La volatilité a un impact clé sur la valorisation.
2. La décroissance des options due à la valeur temps n'est pas de nature linéaire. Rappelez-vous l'analogie de la balle qui roule sur la colline.
3. La valorisation des options est à la fois valeur intrinsèque et valeur temps. Ce n'est pas parce qu'il n'y a pas de valeur intrinsèque que l'option est sans valeur, le temps guérit toutes les blessures et peut aussi combler l'écart. Lorsque vous recevez une attribution d'options, elle est généralement au cours ou peut être hors du cours, sans valeur intrinsèque. Le suivi de la valeur intrinsèque à mesure que le titre augmente est intuitif, mais la valeur temps, le coût d'opportunité d'un exercice précoce, n'est pas toujours intuitive ou prise en compte. En raison de ce coût d'opportunité, vous ne devriez exercer une option plus tôt que pour quelques raisons valables telles que le besoin de flux de trésorerie, la diversification du portefeuille ou les perspectives boursières.

Pensées d'adieu et glossaire

Les options ne sont pas si compliquées lorsque vous comprenez leurs composants. Considérez-les comme des blocs de construction plus flexibles pour vous permettre de construire et de gérer des portefeuilles financiers d'une manière moins intensive en capital. Comprendre les implications des grecs est la première étape vers la compréhension de leur comportement.

En guise de bref glossaire, voici quelques termes clés mentionnés tout au long de l'article, résumés de manière concise :

• Calls et puts - Call est une option sans obligation d'acheter l'actif sous-jacent à un prix convenu au plus tard à une date spécifiée. Put est une option sans obligation de vendre l'actif sous-jacent à un prix convenu au plus tard à une date spécifiée.
• Prime - Le prix payé par un acheteur au vendeur (émetteur) d'une option est appelé une prime. C'est l'évaluation d'une option au moment de la transaction.
• Prix ​​d' exercice/d'exercice et prix au comptant - Le prix d'exercice ou d'exercice est le prix spécifié pour acheter/vendre un actif sous-jacent à l'aide d'une option. Le prix au comptant est le prix de l'actif sous-jacent sur le marché au comptant.
• Gain - Le flux de trésorerie net à l'expiration d'une option. L'un des flux de trésorerie est le prix d'exercice et l'autre est la valeur marchande de l'actif.
• Exercice européen et américain - L'option de style européen ne peut être exercée qu'à une période spécifiée avant l'expiration. L'option américaine peut être exercée à tout moment à l'expiration ou avant celle-ci.
• Valeur temps et valeur intrinsèque – La valeur temps est la prime à un moment moins la valeur intrinsèque. La valeur intrinsèque d'une option est la différence entre le prix d'exercice et le prix au comptant à tout moment.