Llegar a los griegos: la guía completa para el precio de opciones

Las subvenciones de opciones se han vuelto aún más comunes como una forma de compensación, considerando la proliferación de nuevas empresas en los espacios de tecnología y ciencias de la vida. Su precio, sin embargo, es ampliamente malinterpretado y muchos empleados ven las opciones como un boleto confuso hacia la riqueza futura.

Hay consecuencias por no fijar el precio de las opciones en o cerca del valor justo de mercado (FMV) en el momento de la concesión, como IRC 409A en los Estados Unidos, que impone una tasa impositiva penal sobre las opciones otorgadas por debajo del FMV.

A la luz de esto, he escrito este artículo para cubrir los conceptos básicos de la valoración de opciones, para que sea lo más útil posible, no está sujeto a ningún código fiscal o jurisdicción específica. Los principios analizados se aplican principalmente a opciones negociadas sobre acciones cotizadas, pero muchas de las heurísticas se pueden aplicar a opciones no negociadas u opciones sobre acciones no negociadas.

Conceptos básicos de la valoración de opciones

Valor de las opciones al vencimiento

Las opciones, que vienen en forma de call y put, otorgan un derecho, pero no una obligación al comprador. Como resultado, las opciones sencillas pueden valer algo o nada al vencimiento; no pueden tener un valor negativo para un comprador ya que no hay salidas netas de efectivo después de la compra. Un vendedor de opciones sencillas se encuentra en el lado opuesto de la operación y solo puede perder tanto como gane el comprador. Es un juego de suma cero cuando esta es la única transacción.

Modelado de llamadas

Una opción de compra de una acción otorga el derecho, pero no la obligación, de comprar el subyacente al precio de ejercicio. Si el precio al contado está por encima del precio de ejercicio, el tenedor de una opción de compra la ejercerá al vencimiento. El pago (sin ganancias) al vencimiento se puede modelar usando la siguiente fórmula y trazar en un gráfico.

Fórmula de Excel para una llamada: = MAX (0, Share Price - Strike Price)

Modelado pone

De la misma manera, una opción de venta que otorga el derecho de vender al precio de ejercicio se puede modelar de la siguiente manera.

Fórmula de Excel para una opción de venta: = MAX(0, Strike Price - Share Price)

Moneyness de una opción y su relevancia

Según el precio de ejercicio y el precio de las acciones en cualquier momento, el precio de la opción puede estar dentro, en o fuera del dinero:

• Cuando los precios de ejercicio y de las acciones son iguales, la opción es at-the-money.
• Cuando el precio de ejercicio de una opción de compra está por debajo del precio de las acciones, está dentro del dinero (al revés de una opción de venta).
• Cuando el precio de ejercicio de una opción de compra está por encima del precio de las acciones (al contrario que una opción de venta), está fuera del dinero.

Las opciones out-of-the-money y at-the-money no tienen ningún valor intrínseco, pero pueden tener un valor temporal antes del vencimiento. La distinción de moneyness es relevante ya que los intercambios de negociación de opciones tienen reglas sobre el ejercicio automático al vencimiento en función de si una opción está en el dinero o no. Por ejemplo, las reglas de la CBOE son:

La Corporación de Compensación de Opciones tiene disposiciones para el ejercicio automático de ciertas opciones en dinero al vencimiento, un procedimiento también conocido como ejercicio por excepción. Por lo general, la OCC ejercerá automáticamente cualquier opción de compra de acciones que venza o colocará en una cuenta de cliente que sea $0.01 o más en dinero, y una opción de índice que sea $0.01 o más en dinero. Sin embargo, el umbral de una casa de bolsa específica para dicho ejercicio automático puede o no ser el mismo que el de la OCC.

Por lo tanto, el precio de la opción dependerá de si el precio al contado al vencimiento está por encima o por debajo del precio de ejercicio. Intuitivamente, el valor de una opción antes del vencimiento se basará en alguna medida de la probabilidad de que esté en el dinero con el flujo de efectivo descontado a una tasa de interés adecuada.

Modelo de valoración de opciones de Black-Scholes-Merton (BSM)

Aunque las opciones han estado en uso desde el período histórico de las civilizaciones griega, romana y fenicia, Fisher Black originalmente ideó este modelo de valoración de opciones en 1973, ampliamente utilizado ahora, vinculándolo con la derivación de la fórmula de transferencia de calor en la física. Las modificaciones al modelo de Scholes y Merton lo convirtieron en el modelo Black-Scholes-Merton. La fórmula queda de la siguiente manera:

• Llamadas: \(C_t = S_t e^{- \delta T} N \left (d_1 \right ) - K e^{ \left (- r T \right)} N \left (d_2 \right )\)
• Pone: \(p_t = K e^{ \left (- r T \right )} N(d_2) - S_t e^{- \delta T} N(- d_1)\)
• \(d_1 = \ln\left ( \frac{S_0}{K} \right ) + \left ( r + \frac{\sigma ^2}{2} \right )\left ( \frac{T}{\ sigma \sqrt{T}} \right )\)
• \(d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\)

No nos abrumemos con estas elaboradas fórmulas y primero entendamos lo que el modelo realmente muestra. Para las llamadas, su valor antes del vencimiento dependerá del precio al contado de la acción subyacente y su valor descontado, luego el precio de ejercicio y su valor descontado y finalmente, alguna medida de probabilidad. Los componentes de este se desglosan de la siguiente manera:

• \(e^{ \left ( - r T \right )}\) y \(e^{- \delta T}\) son formas de aplicar capitalización continua a una salida y entrada de efectivo por ejercer la opción.
• K y S son los precios de ejercicio y spot, respectivamente.

El resto del cálculo se trata de descontar la salida de efectivo a una tasa de descuento compuesta continuamente, ajustando los dividendos o flujos de efectivo antes del vencimiento y, por probabilidad, utilizando una distribución normal.

Supuestos de probabilidad

El modelo BSM asume una distribución normal (distribución de curva de campana o distribución gaussiana) de rendimientos compuestos continuos. El modelo también implica que a medida que aumenta la relación entre el precio actual de las acciones y el precio de ejercicio, aumenta la probabilidad de ejercer la opción de compra, acercando N(d) factores a 1, lo que implica que la incertidumbre de no ejercer la opción disminuye. A medida que los factores N(d) se acercan a 1, el resultado de la fórmula se acerca al valor del valor intrínseco de la opción de compra. La otra implicación es que cuando la varianza (σ) aumenta, N(d) factores divergen y hacen que la opción de compra sea más valiosa.

N(D2) es la probabilidad de que el precio de la acción esté por encima del precio de ejercicio al vencimiento. N(D1) es el término para calcular el valor esperado de la entrada de efectivo/acciones al vencimiento solo si el precio de las acciones está por encima del precio de ejercicio. N(D1) es una probabilidad condicional.

Una ganancia para el comprador de la llamada se produce a partir de dos factores que ocurren al vencimiento:

1. El spot tiene que estar por encima del precio de ejercicio. (Dirección).
2. La diferencia entre los precios de contado y de ejercicio al vencimiento (Quantum).

Imagínese, una llamada a un precio de ejercicio de $100. Si el precio al contado de la acción es de $101 o $150, se cumple la primera condición. La segunda condición se trata de si la ganancia es de $1 o de $50. El término D1 combina estos dos en una probabilidad condicional de que si el spot al vencimiento está por encima del precio de ejercicio, cuál será su valor esperado en relación con el precio spot actual.

Configuración del modelo BSM en Excel

El siguiente modelo es el que uso en Excel para los cálculos de BSM (las celdas sombreadas son cálculos vinculados a otras celdas):

La fórmula para esto es la siguiente:

Celda B2 = Fecha de valoración Celda B3 = Precio de acciones/spot Celda B4 = Precio de ejercicio Celda B5 = Volatilidad implícita Celda B6 = Tasa libre de riesgo anualizada Celda B7 = Tiempo hasta el vencimiento en años (Calculado como (B10-B2)/365) Celda B8 = Rendimiento del dividendo (Calculado como B11/B3) Celda B9 = Número de opciones (ajústelo a 1, para calcular el valor no basado en un contrato) Celda B10 = Fecha de vencimiento Celda B11 = Dividendo anual en términos de moneda Celda B13 = D1 =(LN((B3\EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7)) Celda B14 = D2 = B13-B5SQRT(B7) Celda B15 = N(D1) = NORMSDIST(B13) Celda B16 = N(D2) = NORMSDIST(B14) Celda B17 = Llamada = (B3\EXP(-B8\B7))\ B15-B4\EXP(-B6\B7)\B16 Celda B18 = Poner = (B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)

Flujos de efectivo del subyacente

Una llamada le permite al comprador disfrutar de la parte superior de una acción sin realmente retenerla por un período hasta el vencimiento. Intuitivamente, si la ventaja se paga durante el período de tenencia, entonces las llamadas deberían ser menos valiosas ya que el titular de la opción no obtiene el derecho a esa ventaja. Por supuesto, lo contrario se aplica en el caso de las opciones de venta. Esta intuición se puede ver en los siguientes gráficos para una acción que paga dividendos con 0%, 2% y 5% de dividendo. El modelo asume que los dividendos también se pagan a una tasa compuesta continua.

Ahora que se están discutiendo los dividendos especiales debido a los cambios en el código fiscal de EE. UU., vale la pena mencionar que verá un factor de ajuste en las opciones negociadas para dividendos únicos por encima de un cierto porcentaje del precio de las acciones. Los dividendos especiales únicos tienen un gran impacto en el precio de las opciones. En 2004, cuando MSFT anunció un dividendo especial único adicional de $3 por acción frente a su trimestre normal de $0,08, se ajustaron las opciones.

Sensibilidad a Factores u Opciones Griegas

El Consejo de la Industria de Opciones (OIC, por sus siglas en inglés) tiene una calculadora gratuita que mostrará los valores de las opciones negociadas y los griegos. He analizado los valores de AAPL desde el 1 de octubre de 2018 del sitio web del Consejo de la Industria de Opciones.

Delta y Gamma o precio al contado

El siguiente gráfico es para Puts de AAPL que vencen el 12 de octubre de 2018 el 1 de octubre de 2018 con la línea vertical que indica el último precio.

Lo siguiente es para llamadas AAPL que vencen el 12 de octubre de 2018 el 1 de octubre de 2018.

El último precio negociado de call y put está claramente correlacionado con el precio de ejercicio y forma este gráfico tipo palo de hockey. La razón por la que los puntos no se alinean con una línea es porque algunas de las opciones no se negociaron el 1 de octubre y el último precio negociado de estas opciones es más antiguo, especialmente para las opciones muy dentro del dinero.

¿Qué sucede cuando cambia el precio al contado de AAPL? El precio de AAPL cambia por nanosegundos en la bolsa. Intuitivamente, y según el modelo BSM, el precio de las opciones también debería cambiar. Esto se mide por Delta, que es la aproximación de cómo cambia el valor de una opción por un cambio en el precio al contado. Es un valor aproximado de cuánto se mueve el valor de la opción por un cambio en $1 del subyacente.

Delta se utiliza como índice de cobertura. Si busca cubrir una posición subyacente con una opción que tiene un delta de 0,5, necesitará dos opciones (2 x 0,5) para cubrir completamente la posición (y hacerla neutral). Sin embargo, Delta es una aproximación. Funciona bien para un pequeño movimiento en el precio y por períodos cortos de tiempo. Vemos la relación de la llamada con los cambios en el precio de las acciones a continuación, así como el cambio en delta en el mismo rango de precios de las acciones. Los precios de las llamadas no se mueven suavemente como una línea y, en consecuencia, el delta calculado se mueve como una curva. Esto se vuelve más notorio más cerca del precio de ejercicio.

El cambio en delta para un cambio es $1 valor del subyacente se llama Gamma. Gamma es siempre un valor positivo y Delta es positivo para una opción call y negativo para una opción put (para el comprador). También significa que para una llamada, el % de cambio más alto ocurrirá cuando pase de estar fuera del dinero a estar dentro del dinero, o viceversa. Gamma o la tasa de cambio en delta se aproxima a cero a medida que el precio de ejercicio se aleja del precio al contado (para posiciones de opciones muy fuera del dinero o dentro del dinero).

Theta, o valor del tiempo

El precio de una opción depende de cuánto tiempo tiene que correr hasta el vencimiento. Intuitivamente, cuanto mayor sea el tiempo de vencimiento, mayor será la probabilidad de que termine en el dinero. Por lo tanto, las opciones con fechas más largas tienden a tener valores más altos, independientemente de si son opciones de venta o de compra. Posteriormente, el valor de tiempo decae a 0 a medida que se acerca al vencimiento.

La tasa de descomposición no es una línea recta. Es más fácil pensar en ello utilizando la analogía de una pelota rodando por una pendiente. La velocidad aumenta a medida que la bola rueda más cuesta abajo, siendo más lenta en la parte superior y más rápida en la parte inferior (al expirar). La tasa de decaimiento está representada por Theta y es positiva para llamadas y opciones de venta.

Rho o Tasas de Interés

Las tasas de interés tienen un impacto en el valor de la opción a través del uso como tasa de descuento. Intuitivamente, las llamadas implican obtener la ventaja de tener las acciones subyacentes sin repartir el precio total. Debido a que un comprador de call no necesita comprar el precio total de las acciones, la diferencia entre el precio total de las acciones y la opción de compra teóricamente podría invertirse y, por lo tanto, la opción de compra debería tener un valor más alto para tasas de descuento más altas. La sensibilidad a las tasas de interés se mide por Rho, con tasas de interés más altas aumentando el valor de las opciones de compra y viceversa para las opciones de venta.

Vega o Volatilidad

Vega, aunque en realidad no está en el alfabeto griego, se usa para denotar la sensibilidad del valor de la opción a la volatilidad. La volatilidad se refiere a la posible magnitud de los movimientos de precios hacia arriba o hacia abajo. Cuanto mayor sea la volatilidad de un precio al contado, mayor será la probabilidad de que el precio alcance el precio de ejercicio. Por lo tanto, cuanto mayor sea la volatilidad, mayor será el precio de las opciones.

La volatilidad generalmente se completa utilizando la volatilidad implícita (I”). La volatilidad implícita se calcula con el Modelo BSM, utilizando los precios negociados de las opciones. IV se ha convertido en una clase de activos negociados por sí misma a través de las opciones VIX.

Si compra una opción en un mercado muy tranquilo y hay un aumento y una disminución repentinos en el precio del subyacente, con el precio finalizando donde estaba antes, es posible que vea que el precio de la opción ha aumentado en valor. Esto es de una revisión de su estimación IV.

Para resumir el efecto de Vega, y de hecho de los otros griegos, sobre los precios de las opciones, consulte la siguiente tabla.

Casos de uso y paridad put-call

Imagine que tiene una cartera, creativamente llamada "A", que tiene solo una opción de compra europea en AAPL con un precio de ejercicio de $ 250 que vence el 21 de diciembre de 2018, y una acción de las acciones subyacentes de APPL:

Luego, crea otra cartera, "B", que tiene solo una llamada europea en AAPL con un precio de ejercicio de $ 250 que vence el 21 de diciembre de 2018, y una letra del Tesoro del gobierno de EE. UU. que vence el mismo día por un valor de vencimiento de $ 250.

Como puede ver, tanto la cartera A como la cartera B tienen el mismo pago al vencimiento. Este principio se llama paridad put-call. Otra forma de decirlo es:

Esta ecuación se puede reorganizar para imitar otras posiciones:

1. Mantenga el subyacente y una opción de venta, tomando prestados fondos a una tasa libre de riesgo y habrá creado una llamada sintética .
2. Ponga en corto el subyacente mientras posee una letra del Tesoro y una opción de compra y tiene una opción de venta sintética.
3. Si desea ganar tasas de tesorería (es decir, libres de riesgo ) mientras mantiene una acción subyacente, mantenga la opción de venta y la opción de compra en corto.
4. También puede imitar la retención del subyacente manteniendo una opción de compra, acortando una opción de venta y manteniendo una factura del Tesoro.

Esto solo funcionará con vencimiento al estilo europeo, llamadas y opciones de venta al mismo precio de ejercicio.

Opciones no negociables para empleados

Las opciones sobre acciones para empleados para empresas que no cotizan en bolsa son diferentes de las opciones que cotizan en bolsa de una manera diferente:

1. No hay ejercicio automático cuando está en el dinero.
2. Los requisitos de adquisición restringen la liquidez.
3. El riesgo de contraparte es mayor, ya que se trata directamente con una corporación privada, en lugar de un intercambio garantizado.
4. La concentración de cartera también es más extrema, ya que hay menos medidas de diversificación disponibles.

Además de estos, como sabemos, la valoración también es un juego de pelota completamente diferente para las empresas privadas. Como comentamos, delta (precio de las acciones), theta (valor temporal), rho (tasa de interés) y vega (volatilidad) son determinantes importantes de la valoración de opciones. Esto hace que la valoración de las opciones sobre acciones de los empleados sea más desafiante, ya que Delta, Gamma y la volatilidad son especialmente difíciles de determinar, ya que es posible que las acciones en sí no se negocien.

Para un empleado que tenga opciones sobre acciones, los factores clave a tener en cuenta son los siguientes:

1. La volatilidad tiene un impacto clave en la valoración.
2. El decaimiento de la opción debido al valor del tiempo no es de naturaleza lineal. Recuerde la analogía de la pelota rodando cuesta abajo.
3. La valoración de opciones es tanto valor intrínseco como valor temporal. El hecho de que no haya un valor intrínseco no significa que la opción no tenga valor, el tiempo cura todas las heridas y también puede cerrar la brecha. Cuando recibe una concesión de opción, por lo general es en el dinero o puede ser fuera del dinero, sin valor intrínseco. El seguimiento del valor intrínseco a medida que aumenta la acción es intuitivo, pero el valor del tiempo, el costo de oportunidad de un ejercicio inicial, no siempre es intuitivo ni se tiene en cuenta. Debido a este costo de oportunidad, debe ejercer una opción anticipadamente solo por algunas razones válidas, como la necesidad de flujo de efectivo, diversificación de cartera o perspectiva de acciones.

Pensamientos de despedida y glosario

Las opciones no son tan complicadas cuando comprendes sus componentes. Piense en ellos como bloques de construcción más flexibles que le permiten construir y administrar carteras financieras de una manera menos intensiva en capital. Comprender las implicaciones de los griegos es el primer paso para comprender su comportamiento.

A modo de breve glosario, a continuación se incluyen algunos términos clave mencionados a lo largo del artículo, resumidos de manera concisa:

• Calls and puts – Call es una opción sin obligación de comprar el activo subyacente a un precio acordado en o antes de una fecha específica. Put es una opción sin obligación de vender el activo subyacente a un precio acordado en o antes de una fecha específica.
• Prima: el precio que paga un comprador al vendedor (emisor) de una opción se denomina prima. Es la valoración de una opción en el momento de la negociación.
• Precios de ejercicio/ejercicio y al contado: el precio de ejercicio o ejercicio es el precio especificado para comprar/vender un activo subyacente utilizando una opción. El precio al contado es el precio del activo subyacente en el mercado al contado.
• Pago: el flujo de efectivo neto al vencimiento de una opción. Uno de los flujos de efectivo es el precio de ejercicio y el otro es el valor de mercado del activo.
• Ejercicio europeo y americano: la opción de estilo europeo solo se puede ejercer en un período específico antes del vencimiento. La opción americana se puede ejercer en cualquier momento en el momento del vencimiento o antes.
• Valor del tiempo y valor intrínseco: el valor del tiempo es la prima en un momento menos el valor intrínseco. El valor intrínseco de una opción es la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio al contado en cualquier momento.