Chegando aos gregos: o guia completo para precificação de opções

As concessões de opções tornaram-se ainda mais comuns como forma de compensação, considerando a proliferação de startups nos espaços de tecnologia e ciências da vida. Seus preços, no entanto, são amplamente incompreendidos e muitos funcionários veem as opções como um bilhete confuso para a riqueza futura.

Há consequências em não definir o preço das opções no valor justo de mercado (FMV) ou próximo dele no momento da concessão, como o IRC 409A nos Estados Unidos, que impõe uma alíquota de imposto penal sobre opções concedidas abaixo do FMV.

À luz disso, escrevi este artigo para cobrir os conceitos básicos de precificação de opções, para torná-lo o mais útil possível, não está vinculado a nenhum código tributário ou jurisdição específica. Os princípios discutidos se aplicam principalmente a opções negociadas sobre ações listadas, mas muitas das heurísticas podem ser aplicadas a opções não negociadas ou opções sobre ações não negociadas.

Noções básicas de avaliação de opções

Valor das opções no vencimento

As opções, que vêm na forma de compra e venda, concedem um direito, mas não uma obrigação ao comprador. Como resultado, as opções simples de baunilha podem valer alguma coisa ou nada no vencimento; eles não podem valer um valor negativo para um comprador, pois não há saídas líquidas de caixa após a compra. Um vendedor de opções de baunilha simples está no lado oposto da negociação e só pode perder tanto quanto o comprador ganha. É um jogo de soma zero quando esta é a única transação.

Chamadas de modelagem

Uma opção de compra de uma ação concede um direito, mas não uma obrigação, de comprar o subjacente ao preço de exercício. Se o preço à vista estiver acima do strike, o titular de uma call a exercerá no vencimento. O retorno (não lucro) no vencimento pode ser modelado usando a fórmula a seguir e plotado em um gráfico.

Fórmula Excel para uma Call: = MAX (0, Share Price - Strike Price)

Modelagem de Puts

Da mesma forma, uma opção de venda que dá o direito de vender ao preço de exercício pode ser modelada conforme abaixo.

Fórmula do Excel para uma venda: = MAX(0, Strike Price - Share Price)

Dinheiro de uma opção e sua relevância

Com base no preço de exercício e no preço das ações em qualquer momento, o preço da opção pode estar dentro, dentro ou fora do dinheiro:

• Quando os preços de exercício e das ações são os mesmos, a opção está no dinheiro.
• Quando o preço de exercício de uma opção de compra está abaixo do preço da ação, ela está dentro do dinheiro (reverso para uma opção de venda).
• Quando o preço de exercício de uma opção de compra está acima do preço da ação (reverso para uma opção de venda), ela está fora do dinheiro.

As opções fora do dinheiro e no dinheiro não têm nenhum valor intrínseco, mas podem ter um valor no tempo antes do vencimento. A distinção de moneyness é relevante, uma vez que as bolsas de negociação de opções têm regras sobre exercício automático no vencimento com base no fato de uma opção estar dentro do dinheiro ou não. Por exemplo:, as regras do CBOE são:

A Options Clearing Corporation possui disposições para o exercício automático de certas opções in-the-money no vencimento, procedimento também denominado exercício por exceção. Geralmente, o OCC exercerá automaticamente qualquer opção de compra ou colocação de ações expirando em uma conta de cliente que esteja $ 0,01 ou mais dentro do dinheiro, e uma opção de índice que esteja $ 0,01 ou mais dentro do dinheiro. No entanto, o limite de uma corretora específica para tal exercício automático pode ou não ser o mesmo do OCC.

O preço da opção dependerá, portanto, se o preço à vista no vencimento estiver acima ou abaixo do preço de exercício. Intuitivamente, o valor de uma opção antes do vencimento será baseado em alguma medida da probabilidade de estar dentro do dinheiro com o fluxo de caixa descontado a uma taxa de juros apropriada.

Modelo de Avaliação de Opção Black-Scholes-Merton (BSM)

Embora as opções estejam em uso desde o período histórico das civilizações grega, romana e fenícia, Fisher Black originalmente criou esse modelo de precificação de opções em 1973, amplamente usado agora, ligando-o à derivação da fórmula de transferência de calor na física. As modificações ao modelo por Scholes e Merton evoluíram para o modelo Black-Scholes-Merton. A fórmula tem a seguinte aparência:

• Chama: \(C_t = S_t e^{- \delta T} N \left (d_1 \right ) - K e^{ \left (- r T \right)} N \left (d_2 \right )\)
• Coloca: \(p_t = K e^{ \left (- r T \right )} N(d_2) - S_t e^{- \delta T} N(- d_1)\)
• \(d_1 = \ln\left ( \frac{S_0}{K} \right ) + \left ( r + \frac{\sigma ^2}{2} \right )\left ( \frac{T}{\ sigma \sqrt{T}} \right )\)
• \(d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\)

Não vamos ficar sobrecarregados com essas fórmulas elaboradas e primeiro entender o que o modelo está realmente mostrando. Para as opções de compra, seu valor antes do vencimento dependerá do preço à vista da ação subjacente e seu valor descontado, depois o preço de exercício e seu valor descontado e, finalmente, alguma medida de probabilidade. Os componentes deste se dividem da seguinte forma:

• \(e^{ \left ( - r T \right )}\) e \(e^{- \delta T}\) são formas de aplicar capitalização contínua a uma saída e entrada de caixa do exercício da opção.
• K e S são os preços de exercício e spot, respectivamente.

O restante do cálculo trata de descontar a saída de caixa a uma taxa de desconto continuamente composta, ajustando quaisquer dividendos ou fluxos de caixa antes do vencimento e, por probabilidade, usando uma distribuição normal.

Suposições de probabilidade

O modelo BSM assume uma distribuição normal (distribuição de curva de sino ou distribuição gaussiana) de retornos continuamente compostos. O modelo também implica que, à medida que a razão entre o preço atual da ação e o preço de exercício aumenta, a probabilidade de exercício da opção de compra aumenta, aproximando N(d) fatores de 1, e implicando que a incerteza de não exercer a opção diminui. À medida que os N(d) fatores se aproximam de 1, o resultado da fórmula se aproxima do valor do valor intrínseco da opção de compra. A outra implicação é que quando a variância (σ) aumenta, N(d) fatores divergem e tornam a opção de compra mais valiosa.

N(D2) é a probabilidade de que o preço da ação esteja acima do preço de exercício no vencimento. N(D1) é o prazo para calcular o valor esperado da entrada de caixa/ações no vencimento somente se o preço da ação estiver acima do preço de exercício. N(D1) é uma probabilidade condicional.

Um ganho para o comprador da chamada ocorre a partir de dois fatores que ocorrem no vencimento:

1. O spot tem que estar acima do preço de exercício. (Direção).
2. A diferença entre os preços spot e de exercício no vencimento (Quantum).

Imagine, uma call com preço de exercício de $ 100. Se o preço à vista da ação for $ 101 ou $ 150, a primeira condição é satisfeita. A segunda condição é se o ganho é de $ 1 ou $ 50. O termo D1 combina esses dois em uma probabilidade condicional de que, se o preço à vista no vencimento estiver acima do preço de exercício, qual será seu valor esperado em relação ao preço à vista atual.

Configurando o modelo BSM no Excel

O modelo a seguir é o que uso no Excel para cálculos do BSM (as células sombreadas são cálculos vinculados a outras células):

A fórmula para isso é a seguinte:

Célula B2 = Data de Avaliação Célula B3 = Preço da Ação/Spot Célula B4 = Preço de Exercício Célula B5 = Volatilidade Implícita Célula B6 = Taxa sem risco anualizada Célula B7 = Prazo até o vencimento em anos (calculado como (B10-B2)/365) Célula B8 = Dividend yield (calculado como B11/B3) Célula B9 = Nº de opções (defina como 1, para cálculo do valor não baseado em contrato) Célula B10 = Data de vencimento Célula B11 = Dividendo anual em moeda Célula B13 = D1 =(LN((B3\EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7)) Célula B14 = D2 = B13-B5SQRT(B7) Célula B15 = N(D1) = DIST.NORMP(B13) Célula B16 = N(D2) = DIST.NORMP(B14) Célula B17 = Chamada = (B3\EXP(-B8\B7))\ B15-B4\EXP(-B6\B7)\B16 Célula B18 = Colocar = (B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)

Fluxos de Caixa do Subjacente

Uma chamada permite que o comprador aproveite a vantagem de uma ação sem realmente segurá-la por um período até o vencimento. Intuitivamente, se o upside for pago durante o período de retenção, as opções de compra devem ser menos valiosas, pois o direito a esse upside não está sendo derivado pelo titular da opção. Obviamente, o inverso se aplica no caso de puts. Essa intuição pode ser vista nos gráficos a seguir para uma ação pagadora de dividendos com 0%, 2% e 5% de dividendos. O modelo assume que os dividendos também são pagos a uma taxa composta continuamente.

Agora que os dividendos especiais estão sendo discutidos devido a mudanças no código tributário dos EUA, vale a pena mencionar que você verá um fator de ajuste para opções negociadas para dividendos únicos acima de um determinado percentual do preço das ações. Os dividendos especiais únicos têm um grande impacto na precificação das opções. Em 2004, quando a MSFT anunciou um dividendo especial adicional único de US$ 3 por ação contra seu normal de US$ 0,08 trimestral, as opções foram ajustadas.

Sensibilidade a Fatores ou Opções Gregas

O Options Industry Council (OIC) possui uma calculadora gratuita que exibirá os valores das opções negociadas e os gregos. Analisei os valores da AAPL a partir de 1 de outubro de 2018 no site do Options Industry Council.

Delta e Gama ou Preço Spot

O gráfico a seguir é para AAPL Puts com vencimento em 12 de outubro de 2018 em 01 de outubro de 2018 com a linha vertical indicando o último preço.

O seguinte é para chamadas AAPL que expiram em 12 de outubro de 2018 em 01 de outubro de 2018.

O último preço negociado de calls e puts está claramente correlacionado com o preço de exercício e forma este gráfico em forma de taco de hóquei. A razão pela qual os pontos não se alinham a uma linha é porque algumas das opções não foram negociadas em 1º de outubro e o último preço negociado dessas opções é mais antigo, especialmente para opções deep-in-the-money.

O que acontece quando o preço spot muda para AAPL? O preço da AAPL muda em nanossegundos na bolsa. Intuitivamente, e com base no modelo BSM, a precificação das opções também deve mudar. Isso é medido pelo Delta, que é a aproximação de como o valor de uma opção muda para uma mudança no preço à vista. É um valor aproximado de quanto o valor da opção se move para uma mudança em $ 1 do subjacente.

Delta é usado como um índice de hedge. Se você deseja proteger uma posição subjacente com uma opção com delta de 0,5, precisará de duas opções (2 x 0,5) para proteger completamente a posição (e torná-la neutra em delta). Delta é uma aproximação, no entanto. Funciona bem para um pequeno movimento de preço e por curtos períodos de tempo. Vemos a relação da chamada com as mudanças no preço das ações abaixo, bem como a mudança no delta na mesma faixa de preços das ações. Os preços das chamadas não se movem suavemente como uma linha e, consequentemente, o delta calculado se move como uma curva. Isso se torna mais perceptível mais perto do preço de exercício.

A mudança no delta para uma mudança é o valor de $ 1 do subjacente é chamado de Gamma. Gamma é sempre um valor positivo e Delta é positivo para call e negativo para put (para o comprador). Isso também significa que, para uma chamada, a maior % de alteração ocorrerá quando ela passar de fora do dinheiro para dentro do dinheiro, ou vice-versa. Gama ou a taxa de variação no delta se aproxima de zero à medida que o preço de exercício se afasta do preço à vista (para posições de opções profundamente fora do dinheiro ou dentro do dinheiro).

Theta, ou valor do tempo

O preço de uma opção depende de quanto tempo ela tem que correr até o vencimento. Intuitivamente, quanto maior o tempo de expiração, maior a probabilidade de que ele acabe no dinheiro. Assim, opções com datas mais longas tendem a ter valores mais altos, independentemente de serem opções de compra ou venda. O valor de tempo subsequentemente decai para 0 à medida que se aproxima da expiração.

A taxa de decaimento não é uma linha reta. É mais fácil pensar nisso usando a analogia de uma bola rolando por uma ladeira. A velocidade aumenta à medida que a bola rola mais abaixo na encosta - sendo mais lenta no topo e mais rápida na parte inferior (no vencimento). A taxa de decaimento é representada por Theta e é positiva para opções de compra e venda.

Rho ou taxas de juros

As taxas de juros têm impacto no valor da opção através do uso como taxa de desconto. Intuitivamente, as chamadas implicam em obter a vantagem de manter as ações subjacentes sem distribuir o preço total. Como um comprador de compra não precisa comprar o preço total da ação, a diferença entre o preço total da ação e a opção de compra poderia teoricamente ser investida e, portanto, a opção de compra deve ter um valor mais alto para taxas de desconto mais altas. A sensibilidade às taxas de juros é medida pelo Rho, com taxas de juros mais altas aumentando o valor das chamadas e vice-versa para as opções de venda.

Vega ou Volatilidade

Vega, embora não esteja realmente no alfabeto grego, é usado para denotar a sensibilidade do valor da opção à volatilidade. Volatilidade refere-se à possível magnitude dos movimentos de preços para cima ou para baixo. Quanto maior a volatilidade de um preço à vista, maior a probabilidade de o preço atingir o preço de exercício. Assim, quanto maior a volatilidade, maior o preço das opções.

A volatilidade geralmente é preenchida usando a volatilidade implícita (I”). A volatilidade implícita é calculada com o Modelo BSM, utilizando os preços negociados das opções. IV tornou-se uma classe de ativos negociados por si só nas opções VIX.

Se você comprar uma opção em um mercado muito calmo e houver um aumento e uma queda repentina no preço do subjacente, com o preço terminando onde estava antes, você poderá ver que o preço da opção aumentou de valor. Isto é de uma revisão de sua estimativa de IV.

Para resumir o efeito de Vega e, de fato, dos outros gregos, nos preços das opções, consulte a tabela a seguir.

Paridade put-call e casos de uso

Imagine que você tem um portfólio, criativamente chamado “A”, que tem apenas uma chamada europeia na AAPL com preço de exercício de $ 250 com vencimento em 21 de dezembro de 2018 e uma ação das ações subjacentes da APPL:

Em seguida, você cria outra carteira, “B”, que tem apenas uma opção de compra europeia na AAPL com preço de exercício de $ 250 com vencimento em 21 de dezembro de 2018 e uma letra do Tesouro dos EUA com vencimento no mesmo dia com valor de vencimento de $ 250.

Como você pode ver, tanto a carteira A quanto a carteira B têm o mesmo retorno no vencimento. Este princípio é chamado de paridade put-call. Outra forma de afirmar é:

Esta equação pode ser reorganizada para imitar outras posições:

1. Segure o subjacente e uma opção de venda, emprestando fundos a uma taxa livre de risco e você criou uma chamada sintética .
2. Vende o subjacente enquanto possui uma letra do Tesouro e uma compra e você tem uma opção de venda sintética.
3. Se você deseja obter taxas de tesouraria (ou seja, sem risco ) enquanto mantém uma ação subjacente, mantenha a opção de venda e a venda a descoberto.
4. Você também pode imitar segurando o subjacente segurando uma chamada, vendendo uma venda e segurando uma letra do Tesouro.

Isso só funcionará com vencimento, chamadas e vendas no estilo europeu com o mesmo preço de exercício.

Opções não negociadas de funcionários

As opções de ações para empregados para empresas não negociadas são diferentes das opções negociadas em bolsa de maneiras diferentes:

1. Não há exercício automático quando está no dinheiro.
2. Os requisitos de aquisição restringem a liquidez.
3. O risco de contraparte é maior, pois você está lidando diretamente com uma corporação privada, em uma troca com garantia.
4. A concentração da carteira também é mais extrema, pois há menos medidas de diversificação disponíveis.

Além disso, como sabemos, a avaliação também é um jogo completamente diferente para empresas privadas. Como discutimos, delta (preço das ações), theta (valor do tempo), rho (taxa de juros) e vega (volatilidade) são importantes determinantes da avaliação de opções. Isso torna a avaliação de opções de ações de funcionários mais desafiadora, uma vez que Delta, Gamma e Volatility são especialmente difíceis de determinar, uma vez que as ações em si podem não ser negociadas.

Para um funcionário titular de opções de ações, os principais fatores a serem lembrados são:

1. A volatilidade tem um impacto importante na avaliação.
2. O decaimento da opção devido ao valor do tempo não é linear por natureza. Lembre-se da analogia da bola rolando colina abaixo.
3. A avaliação da opção é tanto o valor intrínseco quanto o valor do tempo. Só porque não há valor intrínseco não significa que a opção seja inútil, o tempo cura todas as feridas e também pode fechar a lacuna. Quando você recebe uma concessão de opção, geralmente está no dinheiro ou pode estar fora do dinheiro, sem valor intrínseco. Acompanhar o valor intrínseco à medida que o estoque sobe é intuitivo, mas o valor do tempo, o custo de oportunidade de um exercício inicial, nem sempre é intuitivo ou contabilizado. Devido a esse custo de oportunidade, você deve exercer uma opção antecipadamente apenas por alguns motivos válidos, como a necessidade de fluxo de caixa, diversificação de portfólio ou perspectiva de ações.

Pensamentos de despedida e glossário

As opções não são tão complicadas quando você entende seus componentes. Pense neles como blocos de construção mais flexíveis para permitir que você construa e gerencie portfólios financeiros de maneira menos intensiva em capital. Compreender as implicações dos gregos é o primeiro passo para compreender seu comportamento.

Como um breve glossário, abaixo estão alguns termos-chave mencionados ao longo do artigo, resumidos de forma concisa:

• Calls e puts – Call é uma opção sem obrigação de comprar o ativo subjacente a um preço acordado em ou antes de uma data especificada. Put é uma opção sem obrigação de vender o ativo subjacente a um preço acordado em ou antes de uma data especificada.
• Prêmio – O preço pago por um comprador ao vendedor (emitente) de uma opção é chamado de prêmio. É a avaliação de uma opção no momento da negociação.
• Preços de exercício/exercício e à vista – O preço de exercício ou exercício é o preço especificado para comprar/vender um ativo subjacente usando uma opção. O preço à vista é o preço do ativo subjacente no mercado à vista.
• Payoff – O fluxo de caixa líquido no vencimento de uma opção. Um dos fluxos de caixa é o preço de exercício e o outro é o valor de mercado do ativo.
• Exercício europeu e americano – a opção de estilo europeu só pode ser exercida em um período especificado antes do vencimento. A opção americana pode ser exercida a qualquer momento ou antes do vencimento.
• Valor do tempo e valor intrínseco – O valor do tempo é o prêmio de cada vez menos o valor intrínseco. O valor intrínseco de uma opção é a diferença entre o preço de exercício e o preço à vista a qualquer momento.