接触希腊人：期权定价综合指南

考虑到科技和生命科学领域初创公司的激增，期权赠款作为一种补偿形式变得更加普遍。 然而，他们的定价被广泛误解，许多员工将期权视为通向未来财富的令人困惑的门票。

在授予时不将期权价格设定为或接近公允市场价值 (FMV) 会产生后果，例如美国的 IRC 409A 对低于 FMV 授予的期权征收刑事税率。

鉴于此，我写了这篇文章来介绍期权定价的基础知识，使其尽可能广泛地有用，它不受任何特定的税法或管辖区的约束。 讨论的原则主要适用于上市股票的交易期权，但许多启发式方法可以应用于非交易期权或非交易股票期权。

期权估值基础

期权到期时的价值

期权以看涨期权和看跌期权的形式出现，授予买方权利，但不授予买方义务。 结果，普通的普通期权在到期时可能有价值或一文不值。 由于购买后没有净现金流出，它们对买家来说不可能是负值。 普通期权的卖方处于交易的另一端，只能损失与买方收益一样多的损失。 当这是唯一的交易时，这是一个零和游戏。

建模调用

对股票的认购授予了以行使价购买标的物的权利，但没有义务。 如果现货价格高于行使价，看涨期权的持有人将在到期时行使。 到期时的收益（而非利润）可以使用以下公式建模并绘制在图表中。

看涨期权的 Excel 公式： = MAX (0, Share Price - Strike Price)

建模看跌期权

以同样的方式，赋予以行使价卖出的权利的看跌期权可以建模如下。

看跌期权的 Excel 公式： = MAX(0, Strike Price - Share Price)

期权的货币性及其相关性

根据任何时间点的行使价和股票价格，期权定价可能在价内、价内或价外：

• 当行使价和股票价格相同时，期权是平价期权。
• 当看涨期权的行使价低于股票价格时，它是价内的（看跌期权则相反）。
• 当看涨期权的行使价高于股票价格（看跌期权相反）时，它是价外的。

价外期权和价外期权对它们没有任何内在价值，但在到期前可能具有时间价值。 货币性的区别是相关的，因为期权交易交易所根据期权是否为价内而在到期时自动行使规则。 例如：CBOE的规则是：

期权清算公司规定在到期时自动行使某些价内期权，这一程序也称为例外行使。 通常，OCC 将自动行使任何即将到期的股票看涨期权或存入价值 0.01 美元或更多的客户账户，以及价值 0.01 美元或更多的指数期权。 但是，特定经纪公司对此类自动行权的门槛可能与 OCC 相同，也可能不同。

因此，期权定价将取决于到期时的现货价格是高于还是低于行使价。 直观地说，期权在到期前的价值将基于某种衡量它在现金流以适当利率贴现的情况下处于价内的概率。

Black-Scholes-Merton (BSM) 期权估值模型

尽管自希腊、罗马和腓尼基文明的历史时期以来，期权就一直在使用，但 Fisher Black 最初在 1973 年提出了这种期权定价模型，现在被广泛使用，并将其与物理学中传热公式的推导联系起来。 Scholes 和 Merton 对模型的修改将其演变为 Black-Scholes-Merton 模型。 公式如下所示：

• 调用： \(C_t = S_t e^{- \delta T} N \left (d_1 \right ) - K e^{ \left (- r T \right)} N \left (d_2 \right )\)
• 放置： \(p_t = K e^{ \left (- r T \right )} N(d_2) - S_t e^{- \delta T} N(- d_1)\)
• \(d_1 = \ln\left ( \frac{S_0}{K} \right ) + \left ( r + \frac{\sigma ^2}{2} \right )\left ( \frac{T}{\西格玛 \sqrt{T}} \right )\)
• \(d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\)

让我们不要被这些复杂的公式所淹没，首先要了解模型实际显示的内容。 对于看涨期权，它们在到期前的价值将取决于标的股票的现货价格及其贴现值，然后是执行价格及其贴现值，最后是某种概率度量。 该组件的分解如下：

• \(e^{ \left ( - r T \right )}\) 和 \(e^{- \delta T}\) 是对行使期权的现金流出和现金流入应用连续复利的方法。
• K 和 S 分别是执行价格和现货价格。

计算的其余部分都是关于以连续复合折现率折现现金流出，调整任何股息或到期前的现金流量，以及使用正态分布的概率。

概率假设

BSM 模型假设连续复合收益的正态分布（钟形曲线分布或高斯分布）。 该模型还暗示，随着当前股票价格与行使价的比率增加，行使看涨期权的概率增加，使 N(d) 因子接近 1，并暗示不行使期​​权的不确定性降低。 随着 N(d) 因子越来越接近 1，公式的结果越来越接近看涨期权的内在价值。 另一个含义是，当方差 (σ) 增加时，N(d) 因素会发散并使看涨期权更有价值。

N(D2) 是股票价格在到期时高于行使价的概率。 N(D1) 是仅当股票价格高于行使价时计算到期现金/股票流入的预期值的术语。 N(D1) 是条件概率。

看涨期权买方的收益来自到期时发生的两个因素：

1. 现货必须高于行使价。 （方向）。
2. 到期时的现货价格和执行价格之间的差异（量子）。

想象一下，执行价格为 100 美元的看涨期权。 如果股票的现货价格为 101 美元或 150 美元，则满足第一个条件。 第二个条件是关于收益是 1 美元还是 50 美元。 术语 D1 将这两者结合成一个条件概率，即如果到期的现货高于行使价，其相对于当前现货价格的预期值将是多少。

在 Excel 中设置 BSM 模型

以下模型是我在 Excel 中用于 BSM 计算的模型（阴影单元格是链接到其他单元格的计算）：

公式如下：

单元格 B2 = 估值日期 单元格 B3 = 股票/现货价格 单元格 B4 = 执行价格 单元格 B5 = 隐含波动率 单元格 B6 = 无风险年化利率 单元格 B7 = 到期时间（计算为 (B10-B2)/365） 单元格B8 = 股息收益率（计算为 B11/B3） 单元格 B9 = 期权数量（设置为 1，用于计算不基于合约的价值） D1 =(LN((B3\EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7))单元格B14 = D2 = B13-B5SQRT(B7) 单元格 B15 = N(D1) = NORMSDIST(B13) 单元格 B16 = N(D2) = NORMSDIST(B14) 单元格 B17 = 调用 = (B3\EXP(-B8\B7))\ B15-B4\EXP(-B6\B7)\B16 单元格 B18 = 放置 = (B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)

标的的现金流

看涨期权让买方享受股票的上涨空间，而无需真正持有一段时间直至到期。 直观地说，如果在持有期间支付了上涨空间，那么看涨期权的价值应该会降低，因为期权持有者没有获得上涨空间的权利。 当然，在看跌期权的情况下，情况正好相反。 这种直觉可以在以下图表中看到，其中股息为 0%、2% 和 5% 的股息支付股票。 该模型假设股息也以连续复利的利率支付。

现在由于美国税法的变化正在讨论特别股息，值得一提的是，您将看到交易期权的调整因素，即一次性股息高于股价的一定百分比。 一次性特别股息对期权定价有很大影响。 2004 年，当 MSFT 宣布额外的一次性特别股息为每股 3 美元，而正常的季度为 0.08 美元时，期权进行了调整。

对因素或期权的敏感性希腊人

期权行业委员会 (OIC) 有一个免费计算器，可以显示交易的期权价值和希腊字母。 我从期权行业委员会的网站上分析了 2018 年 10 月 1 日以来 AAPL 的价值。

Delta 和 Gamma 或现货价格

下图是 2018 年 10 月 12 日到期的 2018 年 10 月 1 日的 AAPL 看跌期权，垂直线表示最后价格。

以下是 2018 年 10 月 12 日至 2018 年 10 月 1 日到期的 AAPL 电话。

看涨期权和看跌期权的最后交易价格与执行价格明显相关，并形成了这个曲棍球棒式图表。 点与线不对齐的原因是因为一些期权在 10 月 1 日没有交易，而且这些期权的最后交易价格较旧，尤其是对于深度实值期权。

当 AAPL 的现货价格发生变化时会发生什么？ AAPL 在交易所的价格变化以纳秒为单位。 直观地说，基于 BSM 模型，期权定价也应该改变。 这是由 Delta 来衡量的，它是期权价值如何随现货价格变化而变化的近似值。 它是期权价值变动 1 美元标的资产变动幅度的近似值。

Delta 用作对冲比率。 如果您希望使用 delta 为 0.5 的期权对冲标的头寸，您将需要两个期权 (2 x 0.5) 来完全对冲头寸（并使其成为 delta 中性）。 不过，Delta 是一个近似值。 它适用于价格的小幅波动和短时间。 我们在下面看到了调用与股价变化的关系，以及相同股价范围内 delta 的变化。 认购价格不会像一条线一样平滑移动，因此计算出的 delta 会像曲线一样移动。 这在接近执行价格时变得更加明显。

变化的 delta 变化为 1 美元的标的值称为 Gamma。 Gamma 始终为正值，Delta 对于看涨期权为正数，对于看跌期权为负数（对于买方）。 这也意味着对于一个看涨期权，当它从价外变为价内时，将发生最高百分比的变化，反之亦然。 随着执行价格远离现货价格（对于深度价外或价内期权头寸），Gamma 或 delta 变化率接近零。

Theta 或时间值

期权的价格取决于它需要多长时间才能到期。 直观地说，到期时间越长，它最终成为价内的可能性就越高。 因此，期限较长的期权往往具有更高的价值，无论它们是看跌期权还是看涨期权。 随着时间临近到期，时间值随后衰减为 0。

衰减率不是一条直线。 用滚下斜坡的球来类比更容易想到它。 随着球滚下斜坡，速度会加快——最慢的是在顶部，而最快的是在底部（到期时）。 衰减率由 Theta 表示，对于看涨期权和看跌期权都是正数。

Rho 或利率

利率通过用作贴现率对期权价值产生影响。 直观地说，看涨期权意味着在不抛出全价的情况下获得持有标的股票的好处。 因为看涨期权的买家不需要购买股票的全价，所以理论上可以投资全价和看涨期权之间的差价，因此看涨期权应该具有更高的贴现率。 对利率的敏感性由 Rho 衡量，较高的利率会增加看涨期权的价值，反之亦然。

Vega 或波动率

Vega，虽然实际上不在希腊字母表中，但用于表示期权价值对波动性的敏感性。 波动性是指价格上涨或下跌的可能幅度。 现货价格的波动性越高，价格达到罢工的可能性就越大。 因此，波动率越高，期权的价格就越高。

波动率通常使用隐含波动率 (I") 回填。 隐含波动率是使用 BSM 模型计算的，使用期权的交易价格。 IV 通过 VIX 期权本身已成为一种可交易的资产类别。

如果您在一个非常平静的市场中买入期权，并且标的物价格突然上涨和下跌，最终价格回到之前的水平，您可能会看到期权定价的价值增加了​​。 这是对其 IV 估计的修订。

总结 Vega 以及其他希腊人对期权价格的影响，请参阅下表。

看跌期权平价和用例

想象一下，你有一个投资组合，创造性地命名为“A”，它只有一个欧洲对 AAPL 的看涨期权，行使价 250 美元，到期日为 2018 年 12 月 21 日，以及一股基础的 APPL 股票：

然后，您创建另一个投资组合“B”，其中只有一个欧洲对 AAPL 的看涨期权，行使价 250 美元，到期日为 2018 年 12 月 21 日，以及一个在同一天到期的美国政府国库券，到期价值为 250 美元。

如您所见，投资组合 A 和投资组合 B 在到期时具有相同的收益。 这个原则被称为看跌期权平价。 另一种表述方式是：

这个方程可以重新排列以模拟其他位置：

1. 通过以无风险利率借入资金，持有标的资产和看跌期权，您就创建了一个合成看涨期权。
2. 在持有国库券和看涨期权的同时做空底层证券，您就有了合成看跌期权。
3. 如果您想在持有标的股票的同时赚取国债（即无风险）利率，则持有看跌期权并做空看涨期权。
4. 您还可以通过持有看涨期权、卖空看跌期权和持有国库券来模拟持有底层证券。

这仅适用于相同执行价格的欧式到期、看涨期权和看跌期权。

员工非交易期权

非交易公司的员工股票期权与交易所交易期权的不同之处在于：

1. 价内没有自动行权。
2. 归属要求限制了流动性。
3. 交易对手风险较高，因为您通过抵押交易所直接与私人公司打交道。
4. 投资组合集中度也更加极端，因为可用的多元化措施较少。

除了这些，我们知道，估值对于民营企业来说也是一个完全不同的球赛。 正如我们所讨论的，delta（股票价格）、theta（时间价值）、rho（利率）和 vega（波动率）是期权估值的重要决定因素。 这些使得员工股票期权的估值更具挑战性，因为 Delta、Gamma 和 Volatility 特别难以确定，因为股票本身可能不会交易。

对于持有股票期权的员工，要记住的关键因素是：

1. 波动性对估值有关键影响。
2. 由于时间价值导致的期权衰减本质上不是线性的。 记住球滚下山的比喻。
3. 期权估值既是内在价值，也是时间价值。 没有内在价值并不意味着期权一文不值，时间可以治愈所有的伤口，也可以缩小差距。 当您收到期权授予时，它通常是平价或价外，没有内在价值。 随着股票上涨跟踪内在价值是直观的，但时间价值，即早期行使的机会成本，并不总是直观或考虑在内。 由于这种机会成本，您应该仅出于一些正当理由（例如需要现金流、投资组合多样化或股票前景）提前行使期权。

离别的想法和词汇表

当您了解它们的组件时，选项并不那么复杂。 将它们视为更灵活的构建块，允许您以较低资本密集度的方式构建和管理金融投资组合。 了解希腊人的含义是理解他们行为的第一步。

作为一个简短的词汇表，以下是整篇文章中提到的一些关键术语，并以简洁的方式进行了总结：

• 看涨和看跌——看涨期权是一种没有义务在指定日期或之前以约定价格购买标的资产的期权。 看跌期权是一种没有义务在指定日期或之前以约定价格出售标的资产的期权。
• 溢价–买方支付给期权卖方（作者）的价格称为溢价。 它是交易时期权的估值。
• 行使/行使价和现货价格——行使或行使价是使用期权购买/出售标的资产的指定价格。 现货价格是现货市场上标的资产的价格。
• 收益——期权到期时的净现金流。 现金流量之一是行使价，另一个是资产的市场价值。
• 欧式和美式行权——欧式期权只能在到期前的特定时期内行权。 美式期权可以在到期时或到期之前的任何时间行使。
• 时间价值和内在价值——时间价值是一次溢价减去内在价值。 期权的内在价值是任何时候的执行价格和现货价格之间的差额。