Как добраться до греков: полное руководство по ценообразованию опционов

Опционные гранты стали еще более распространенными в качестве формы компенсации, учитывая распространение стартапов в области технологий и наук о жизни. Их ценообразование, однако, часто неправильно понимают, и многие сотрудники считают опционы запутанным билетом к будущему богатству.

Неустановление цены опционов на уровне справедливой рыночной стоимости (FMV) или близкой к ней на момент предоставления имеет последствия, как, например, IRC 409A в Соединенных Штатах, который налагает штрафную ставку налога на опционы, предоставленные ниже FMV.

В свете этого я написал эту статью, чтобы охватить основы ценообразования опционов, чтобы сделать ее максимально полезной, она не привязана к какому-либо конкретному налоговому кодексу или юрисдикции. Обсуждаемые принципы в первую очередь применяются к торгуемым опционам на зарегистрированные акции, но многие из эвристик могут быть применены к неторгуемым опционам или опционам на неторгуемые акции.

Основы оценки опционов

Стоимость опционов по истечении срока

Опционы, которые бывают в форме коллов и путов, предоставляют право, но не обязательство перед покупателем. В результате простые ванильные опционы могут стоить чего-то или ничего по истечении срока действия; они не могут иметь для покупателя отрицательную ценность, поскольку нет чистого оттока денежных средств после покупки. Продавец простых ванильных опционов находится на противоположной стороне сделки и может потерять ровно столько, сколько выиграет покупатель. Это игра с нулевой суммой, когда это единственная транзакция.

Моделирование вызовов

Опцион на акцию дает право, но не обязанность купить базовый актив по цене исполнения. Если спотовая цена выше страйка, держатель колл-опциона реализует ее по истечении срока. Выплату (не прибыль) по истечении срока можно смоделировать с помощью следующей формулы и нанести на график.

Формула Excel для колла: = MAX (0, Share Price - Strike Price)

Моделирование путов

Таким же образом можно смоделировать пут, дающий право на продажу по цене исполнения, как показано ниже.

Формула Excel для пут: = MAX(0, Strike Price - Share Price)

Денежность опциона и его релевантность

В зависимости от цены исполнения и цены акции в любой момент времени цена опциона может быть в деньгах, в деньгах или вне денег:

• Когда страйк и цена акции совпадают, опцион при деньгах.
• Когда страйк колл ниже цены акции, он находится в деньгах (обратное для пут).
• Когда страйк колл-опциона выше цены акции (обратная для пут-опциона), он оказывается вне денег.

Опционы «вне денег» и «при деньгах» не имеют внутренней стоимости, но могут иметь временную стоимость до погашения. Различие денежности имеет значение, поскольку биржи торговли опционами имеют правила автоматического исполнения по истечении срока действия в зависимости от того, находится ли опцион в деньгах или нет. Например: правила CBOE:

Опционная клиринговая корпорация имеет положения об автоматическом исполнении определенных опционов «в деньгах» по истечении срока действия, процедура, также называемая исполнением в порядке исключения. Как правило, OCC автоматически реализует любую истекающую колл-опцион или размещает на счете клиента прибыль в деньгах на 0,01 доллара или более, а также опцион на индекс, прибыль в деньгах на 0,01 доллара или более. Однако пороговое значение конкретной брокерской фирмы для такого автоматического исполнения может совпадать или не совпадать с пороговым значением OCC.

Таким образом, цена опциона будет зависеть от того, будет ли спотовая цена по истечении срока действия выше или ниже цены исполнения. Интуитивно понятно, что стоимость опциона до истечения срока действия будет основываться на некоторой мере вероятности того, что он окажется в деньгах, а денежный поток будет дисконтирован по соответствующей процентной ставке.

Модель оценки опциона Блэка-Шоулза-Мертона (BSM)

Хотя опционы использовались с исторического периода греческой, римской и финикийской цивилизаций, Фишер Блэк первоначально придумал эту модель ценообразования опционов в 1973 году, широко используемую сейчас, связав ее с выводом формулы теплопередачи в физике. Модификации модели Шоулза и Мертона превратили ее в модель Блэка-Шоулза-Мертона. Формула выглядит следующим образом:

• Вызовы: \(C_t = S_t e^{- \delta T} N \left (d_1 \right ) - K e^{ \left (- r T \right)} N \left (d_2 \right )\)
• Помещает: \(p_t = K e^{ \left (- r T \right )} N(d_2) - S_t e^{- \delta T} N(- d_1)\)
• \(d_1 = \ln\left (\frac{S_0}{K} \right) + \left ( r + \frac{\sigma ^2}{2} \right)\left (\frac{T}{\ сигма \sqrt{T}} \right )\)
• \(d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\)

Давайте не будем перегружаться этими сложными формулами и сначала поймем, что на самом деле показывает модель. Для коллов их стоимость до погашения будет зависеть от спотовой цены базовой акции и ее дисконтированной стоимости, затем от цены исполнения и ее дисконтированной стоимости и, наконец, от некоторой меры вероятности. Составляющие этого распадаются следующим образом:

• \(e^{ \left ( - r T \right )}\) и \(e^{- \delta T}\) являются способами применения непрерывного начисления сложных процентов к оттоку и притоку денежных средств от исполнения опциона.
• K и S — цены исполнения и спот соответственно.

Остальная часть расчета сводится к дисконтированию оттока денежных средств по постоянно начисляемой ставке дисконтирования, корректировке любых дивидендов или денежных потоков до погашения и вероятности с использованием нормального распределения.

Вероятностные предположения

Модель BSM предполагает нормальное распределение (распределение по колоколообразной кривой или распределение по Гауссу) непрерывно начисляемых процентов. Модель также подразумевает, что по мере увеличения отношения текущей цены акции к цене исполнения вероятность исполнения опциона колл увеличивается, приближая коэффициенты N(d) к 1 и подразумевая, что неопределенность неисполнения опциона уменьшается. Чем ближе коэффициент N(d) к 1, тем ближе результат формулы к значению внутренней стоимости опциона колл. Другое следствие состоит в том, что когда дисперсия (σ) увеличивается, N(d) факторов расходятся и делают опцион колл более ценным.

N(D2) — вероятность того, что цена акции будет выше цены исполнения в момент погашения. N(D1) — это термин для расчета ожидаемой стоимости притока денежных средств/акций по истечении срока, только если цена акции выше цены исполнения. N(D1) — условная вероятность.

Прибыль для покупателя колл возникает из-за двух факторов, возникающих при погашении:

1. Спот должен быть выше цены исполнения. (Направление).
2. Разница между спотовой ценой и ценой исполнения в момент погашения (Quantum).

Представьте себе колл со страйком 100 долларов. Если спотовая цена акции составляет 101 или 150 долларов, первое условие выполняется. Второе условие касается того, будет ли выигрыш равен 1 доллару или 50 долларам. Термин D1 объединяет эти два параметра в условную вероятность того, что, если спот при погашении выше страйка, какова будет его ожидаемая стоимость по отношению к текущей спотовой цене.

Настройка модели BSM в Excel

Следующая модель — это то, что я использую в Excel для расчетов BSM (заштрихованные ячейки — это расчеты, связанные с другими ячейками):

Формула для этого следующая:

Ячейка B2 = Дата оценки Ячейка B3 = Цена акции/спот Ячейка B4 = Цена исполнения Ячейка B5 = Подразумеваемая волатильность Ячейка B6 = Безрисковая ставка в годовом исчислении Ячейка B7 = Время до экспирации в годах (Рассчитывается как (B10-B2)/365) Ячейка B8 = Доходность по дивидендам (рассчитывается как B11/B3) Ячейка B9 = Количество опционов (установите значение 1 для расчета стоимости не на основе контракта) Ячейка B10 = Дата истечения срока действия Ячейка B11 ​​= Годовой дивиденд в денежном выражении Ячейка B13 = D1 = (LN ((B3\EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7)) Ячейка B14 = D2 = B13-B5SQRT(B7) Ячейка B15 = N(D1) = НОРМРАСП(B13) Ячейка B16 = N(D2) = НОРМРАСП(B14) Ячейка B17 = Вызов = (B3\EXP(-B8\B7))\ B15-B4\EXP(-B6\B7)\B16 Cell B18 = Put ​​= (B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)

Денежные потоки базового актива

Колл позволяет покупателю получить прибыль от акций, фактически не удерживая их до истечения срока действия. Интуитивно понятно, что если потенциал роста выплачивается в течение периода удержания опциона, то колл-опционы должны быть менее ценными, так как право на этот потенциал не передается держателю опциона. Конечно, в случае путов применяется обратное. Эту интуицию можно увидеть на следующих графиках для акций, выплачивающих дивиденды, с дивидендами 0%, 2% и 5%. Модель предполагает, что дивиденды также выплачиваются по постоянно начисляемой процентной ставке.

Теперь, когда обсуждаются специальные дивиденды в связи с изменениями в налоговом кодексе США, стоит упомянуть, что вы увидите поправочный коэффициент для торгуемых опционов на разовые дивиденды выше определенного процента от цены акции. Единовременные специальные дивиденды оказывают большое влияние на цену опциона. В 2004 году, когда MSFT объявила о дополнительном единовременном специальном дивиденде в размере 3 долларов на акцию по сравнению с обычным квартальным дивидендом в размере 0,08 доллара, опционы были скорректированы.

Чувствительность к факторам или вариантам греков

Совет индустрии опционов (OIC) имеет бесплатный калькулятор, который отображает стоимость торгуемых опционов и греков. Я проанализировал значения AAPL с 1 октября 2018 года с веб-сайта Совета индустрии опционов.

Дельта и гамма или спотовая цена

На следующем графике показаны путы AAPL со сроком погашения 12 октября 2018 г. по 1 октября 2018 г., где вертикальная линия указывает последнюю цену.

Ниже приведены звонки AAPL, срок действия которых истекает с 12 октября 2018 года по 01 октября 2018 года.

Последняя торгуемая цена коллов и путов четко коррелирует с ценой исполнения и формирует этот график, похожий на хоккейную клюшку. Причина, по которой точки не совпадают с линиями, заключается в том, что некоторые опционы не торговались 1 октября, а последняя торгуемая цена этих опционов устарела, особенно для опционов глубоко в деньгах.

Что происходит, когда спотовая цена AAPL изменяется? Цена AAPL на бирже меняется за наносекунды. Интуитивно и на основе модели BSM цена опциона также должна измениться. Это измеряется дельтой, которая представляет собой приблизительное изменение стоимости опциона при изменении спотовой цены. Это приблизительное значение того, насколько изменится стоимость опциона при изменении базового актива на 1 доллар.

Дельта используется в качестве коэффициента хеджирования. Если вы хотите хеджировать базовую позицию опционом с дельтой 0,5, вам понадобятся два опциона (2 x 0,5), чтобы полностью хеджировать позицию (и сделать ее дельта-нейтральной). Однако дельта является приблизительным значением. Он хорошо работает при небольшом движении цены и на коротких промежутках времени. Ниже мы видим связь колла с изменением цены акции, а также изменение дельты в том же диапазоне цен акций. Цены колл не движутся плавно, как линия, и, следовательно, рассчитанная дельта движется как кривая. Это становится более заметным ближе к цене исполнения.

Изменение дельты для изменения стоимости базового актива на 1 доллар называется Гамма. Гамма всегда имеет положительное значение, а Дельта положительна для колла и отрицательна для пут (для покупателя). Это также означает, что для колла наибольшее процентное изменение произойдет, когда он превратится из состояния «вне денег» в состояние «в деньгах» или наоборот. Гамма или скорость изменения дельты приближается к нулю по мере того, как цена исполнения отдаляется от спотовой цены (для опционных позиций глубоко вне денег или в деньгах).

Тета, или временная стоимость

Цена опциона зависит от того, как долго он должен работать до истечения срока действия. Интуитивно понятно, что чем дольше срок действия, тем выше вероятность того, что он окажется в деньгах. Следовательно, опционы с более длительным сроком действия, как правило, имеют более высокую стоимость, независимо от того, являются ли они опционами пут или колл. Значение времени впоследствии уменьшается до 0, когда оно приближается к истечению.

Скорость распада не является прямой линией. Легче думать об этом, используя аналогию с мячом, катящимся по склону. Скорость нарастает по мере того, как мяч катится дальше по склону — медленнее всего наверху, а быстрее всего внизу (по истечении срока действия). Скорость затухания представлена ​​Тета и положительна для коллов и путов.

Ро или процентные ставки

Процентные ставки влияют на стоимость опциона за счет использования в качестве ставки дисконтирования. Интуитивно, коллы подразумевают получение прибыли от владения базовыми акциями без выплаты полной цены. Поскольку покупателю колл не нужно покупать полную цену акции, разница между полной ценой акции и опционом колл теоретически может быть инвестирована, и поэтому опцион колл должен иметь более высокую стоимость при более высоких ставках дисконтирования. Чувствительность к процентным ставкам измеряется Rho, при этом более высокие процентные ставки увеличивают стоимость коллов и наоборот для путов.

Вега или волатильность

Вега, хотя и не в греческом алфавите, используется для обозначения чувствительности стоимости опциона к волатильности. Волатильность относится к возможной величине движения цены вверх или вниз. Чем выше волатильность спотовой цены, тем выше вероятность того, что цена может достичь страйка. Следовательно, чем выше волатильность, тем выше цена опционов.

Волатильность обычно обратно заполняется с использованием подразумеваемой волатильности (I”). Подразумеваемая волатильность рассчитывается с помощью модели BSM с использованием торгуемых цен опционов. IV стал торгуемым классом активов сам по себе через опционы VIX.

Если вы покупаете опцион на очень спокойном рынке и происходит внезапный рост и падение цены базового актива, при этом цена возвращается туда, где она была раньше, вы можете увидеть, что цена опциона увеличилась в цене. Это из пересмотра его оценки IV.

Чтобы обобщить влияние Веги и других греков на цены опционов, обратитесь к следующей таблице.

Паритет пут-колл и варианты использования

Представьте, что у вас есть портфель с творческим названием «А», в котором есть только европейский колл на AAPL со страйком 250 долларов, срок действия которого истекает 21 декабря 2018 года, и одна акция базовой акции APPL:

Затем вы создаете другой портфель, «B», в котором есть только европейский колл-опцион на AAPL со страйком 250 долларов и сроком погашения 21 декабря 2018 года, а также государственный казначейский вексель США со сроком погашения в тот же день и сроком погашения 250 долларов.

Как видите, и портфель A, и портфель B имеют одинаковую выплату по истечении срока действия. Этот принцип называется паритетом пут-колл. Другой способ заявить это:

Это уравнение можно изменить, чтобы имитировать другие позиции:

1. Держите андерлаинг и пут, заняв средства по безрисковой ставке, и вы создали синтетический колл .
2. Короткий базовый актив при наличии казначейского векселя и колла, и у вас есть синтетический пут.
3. Если вы хотите получать казначейские (т. е. безрисковые ) процентные ставки, удерживая базовые акции, держите пут и продавайте колл.
4. Вы также можете имитировать удерживание базового актива, удерживая колл, продавая пут и удерживая казначейские векселя.

Это будет работать только с экспирацией в европейском стиле, коллами и путами с одинаковой ценой исполнения.

Неторгуемые опционы для сотрудников

Опционы на акции для сотрудников неторгуемых компаний отличаются от биржевых опционов по-разному:

1. Нет автоматического исполнения, когда оно в деньгах.
2. Требования вестинга ограничивают ликвидность.
3. Риск контрагента выше, так как вы имеете дело напрямую с частной корпорацией, а не с залоговым обменом.
4. Концентрация портфеля также более экстремальна, поскольку доступно меньше мер по диверсификации.

В дополнение к этому, как мы знаем, оценка также является совершенно другой игрой в мяч для частных компаний. Как мы уже говорили, дельта (цена акции), тета (временная стоимость), ро (процентная ставка) и вега (волатильность) являются важными факторами, определяющими оценку опционов. Это усложняет оценку опционов на акции сотрудников, поскольку особенно сложно определить дельту, гамму и волатильность, поскольку сами акции могут не продаваться.

Для сотрудника, владеющего опционами на акции, ключевыми факторами, которые следует учитывать, являются следующие:

1. Волатильность оказывает ключевое влияние на оценку.
2. Распад опциона из-за временной стоимости не является линейным по своей природе. Вспомните аналогию с катящимся с холма мячом.
3. Оценка опциона представляет собой как внутреннюю стоимость, так и временную стоимость. Тот факт, что нет внутренней стоимости, не означает, что опцион бесполезен, время лечит все раны и также может закрыть разрыв. Когда вы получаете опционный грант, он обычно находится в деньгах или может быть вне денег, не имея внутренней стоимости. Отслеживание внутренней стоимости по мере роста акций является интуитивно понятным, но временная стоимость, альтернативная стоимость досрочного исполнения, не всегда интуитивно понятна или учитывается. Из-за этой альтернативной стоимости вы должны использовать опцион досрочно только по нескольким уважительным причинам, таким как потребность в денежном потоке, диверсификация портфеля или перспективы акций.

Прощальные мысли и глоссарий

Опции не так сложны, когда вы понимаете их компоненты. Думайте о них как о более гибких строительных блоках, позволяющих вам создавать и управлять финансовыми портфелями менее капиталоемким способом. Понимание значения греков — первый шаг к пониманию их поведения.

В качестве краткого глоссария ниже приведены некоторые ключевые термины, упомянутые в статье, в краткой форме:

• Колл и пут . Колл — это опцион без обязательств купить базовый актив по согласованной цене в указанную дату или до нее. Пут — это опцион без обязательств по продаже базового актива по согласованной цене в указанную дату или до нее.
• Премия — цена, уплачиваемая покупателем продавцу (продавцу) опциона, называется премией. Это оценка опциона во время сделки.
• Цены исполнения /страйка и спотовые цены . Цена исполнения или исполнения – это указанная цена для покупки/продажи базового актива с использованием опциона. Спотовая цена – это цена базового актива на спотовом рынке.
• Выплата — чистый денежный поток по истечении срока действия опциона. Один из денежных потоков — это цена исполнения, а другой — рыночная стоимость актива.
• Европейское и американское исполнение – опцион в европейском стиле может быть исполнен только в определенный период до истечения срока действия. Американский опцион может быть исполнен в любое время по истечении или до истечения срока действия.
• Временная стоимость и внутренняя стоимость . Временная стоимость – это премия за один раз за вычетом внутренней стоимости. Внутренняя стоимость опциона – это разница между ценой исполнения и ценой спот в любой момент времени.