ギリシャ人への行き方：オプション価格設定の包括的なガイド

オプションの助成金は、テクノロジーとライフサイエンスの分野での新興企業の急増を考慮して、報酬の一形態としてさらに一般的になっています。 しかし、彼らの価格設定は広く誤解されており、多くの従業員はオプションを将来の富への紛らわしいチケットと見なしています。

FMV未満で付与されたオプションに罰金税率を課す米国のIRC409Aのように、付与時にオプションの価格を公正市場価格（FMV）またはその近くに設定しないと結果が生じます。

これに照らして、私はオプション価格設定の基本をカバーするためにこの記事を書きました。それを可能な限り広く役立つようにするために、それは特定の税法や管轄に拘束されません。 説明した原則は、主に上場株式の取引オプションに適用されますが、ヒューリスティックの多くは、非取引オプションまたは非取引株式のオプションに適用できます。

オプション評価の基本

満期時のオプションの価値

コールとプットの形で提供されるオプションは、買い手に権利を付与しますが、義務は付与しません。 結果として、プレーンバニラオプションは、満了時に何かまたは何の価値もない可能性があります。 購入後の純現金流出はないため、購入者にとってマイナスの価値はありません。 プレーンバニラオプションの売り手は取引の反対側にあり、買い手が得た分だけ失うことができます。 これが唯一のトランザクションである場合、これはゼロサムゲームです。

通話のモデリング

株式の募集は権利を付与しますが、行使価格で原資産を購入する義務はありません。 スポット価格がストライキを上回っている場合、コールの保有者は満期時にそれを行使します。 満期時のペイオフ（利益ではない）は、次の式を使用してモデル化し、チャートにプロットできます。

コールのExcel式： = MAX (0, Share Price - Strike Price)

モデリングプット

同様に、行使価格で売る権利を与えるプットは、以下のようにモデル化することができます。

プットのExcel式： = MAX(0, Strike Price - Share Price)

オプションの金銭性とその関連性

任意の時点での行使価格と株価に基づいて、オプション価格は、イン、アット、またはアウトのいずれかになります。

• ストライキと株価が同じ場合、オプションはアットザマネーです。
• コールのストライキが株価を下回っている場合、それはインザマネーです（プットの逆）。
• コールのストライキが株価を上回っている場合（プットの逆）、それはアウトオブザマネーです。

アウトオブザマネーオプションとアットザマネーオプションには、本質的な価値はありませんが、満期前の時間価値がある場合があります。 オプション取引所には、オプションがインザマネーであるかどうかに基づいて満期時の自動行使に関する規則があるため、金銭性の区別は適切です。 例：、CBOEのルールは次のとおりです。

オプションクリアリングコーポレーションは、満期時に特定のインザマネーオプションを自動的に行使するための規定を持っています。この手順は、例外的に行使とも呼ばれます。 通常、OCCは、期限切れのエクイティコールを自動的に行使するか、0.01ドル以上のインザマネーの顧客アカウントと、0.01ドル以上のインザマネーのインデックスオプションを入力します。 ただし、そのような自動行使に対する特定の証券会社のしきい値は、OCCのしきい値と同じである場合と同じでない場合があります。

したがって、オプションの価格設定は、満期時のスポット価格が行使価格を上回っているか下回っているかによって異なります。 直感的には、有効期限が切れる前のオプションの価値は、適切な金利で割引されたキャッシュフローでインザマネーになる確率の測定に基づいています。

ブラック-ショールズ-マートン（BSM）オプション評価モデル

オプションはギリシャ、ローマ、フェニキア文明の歴史的時代から使用されてきましたが、フィッシャーブラックはもともと1973年にこのオプション価格設定モデルを考案し、現在広く使用されており、物理学における熱伝達式の導出にリンクしています。 ScholesとMertonによるモデルへの変更は、それをBlack-Scholes-Mertonモデルに進化させました。 式は次のようになります。

• 呼び出し：\（C_t = S_t e ^ {-\ delta T} N \ left（d_1 \ right）-K e ^ {\ left（-r T \ right）} N \ left（d_2 \ right）\）
• 置く：\（p_t = K e ^ {\ left（-r T \ right）} N（d_2）-S_t e ^ {-\ delta T} N（-d_1）\）
• \（d_1 = \ ln \ left（\ frac {S_0} {K} \ right）+ \ left（r + \ frac {\ sigma ^ 2} {2} \ right）\ left（\ frac {T} {\ sigma \ sqrt {T}} \ right）\）
• \（d_2 = d_1-\ sigma \ sqrt {T} \）

これらの手の込んだ式に圧倒されないように、最初にモデルが実際に何を示しているかを理解しましょう。 コールの場合、満期前の価値は、原株のスポット価格とその割引価値、次に行使価格とその割引価値、そして最後に確率の尺度に依存します。 このコンポーネントは次のように分類されます。

• \（e ^ {\ left（--r T \ right）} \）と\（e ^ {-\ delta T} \）は、オプションの行使によるキャッシュアウトフローとキャッシュインフローに連続複利を適用する方法です。
• KとSは、それぞれストライク価格とスポット価格です。

計算の残りの部分は、継続的に複合された割引率での現金流出の割引、配当、または満期前のキャッシュフローの調整、および正規分布を使用した確率に関するものです。

確率の仮定

BSMモデルは、連続的に複合されたリターンの正規分布（ベルカーブ分布またはガウス分布）を想定しています。 このモデルはまた、行使価格に対する現在の株価の比率が増加するにつれて、コールオプションを行使する確率が増加し、N（d）係数を1に近づけ、オプションを行使しないという不確実性が減少することを意味します。 N（d）係数が1に近づくと、式の結果はコールオプションの本源的価値の値に近づきます。 もう1つの意味は、分散（σ）が増加すると、N（d）ファクターが発散し、コールオプションの価値が高まることです。

N（D2）は、株価が満期時の行使価格を上回っている確率です。 N（D1）は、株価が行使価格を上回っている場合にのみ、満期時の現金/株式流入の期待値を計算するための用語です。 N（D1）は条件付き確率です。

コールバイヤーの利益は、満期時に発生する2つの要因から発生します。

1. スポットは行使価格を上回っている必要があります。 （方向）。
2. 満期時のスポット価格と行使価格の差（クォンタム）。

想像してみてください。行使価格$100のコールです。 株式のスポット価格が101ドルまたは150ドルの場合、最初の条件が満たされます。 2番目の条件は、ゲインが1ドルか50ドルかについてです。 用語D1は、これら2つを条件付き確率に組み合わせて、満期のスポットがストライキを上回っている場合、現在のスポット価格に対する期待値はどうなるかを示します。

ExcelでのBSMモデルの設定

次のモデルは、ExcelでBSM計算に使用するモデルです（影付きのセルは他のセルにリンクされた計算です）。

この式は次のとおりです。

セルB2=評価日セルB3=在庫/スポット価格セルB4=ストライク価格セルB5=暗黙の揮発性セルB6=年換算のリスクフリーレートセルB7=有効期限までの年数（（B10-B2）/ 365として計算）セルB8 =配当利回り（B11 / B3として計算）セルB9 =オプションの数（契約に基づかない値を計算する場合は1に設定）セルB10=有効期限セルB11=通貨ベースの年間配当セルB13= D1 =（LN（（B3 \ EXP（-B8 \ B7））/ B4）+（（B6 +（（B5）^ 2）/ 2）\ B7））/（（B5）\ SQRT（B7））セルB14 = D2 = B13-B5SQRT（B7）セルB15 = N（D1）= NORMSDIST（B13）セルB16 = N（D2）= NORMSDIST（B14）セルB17 =呼び出し=（B3 \ EXP（-B8 \ B7））\ B15-B4 \ EXP（-B6 \ B7）\B16セルB18= Put =（B17-（B3 \ EXP（-B8 \ B7））+ B4 \ EXP（-B6 \ B7）

基礎となるキャッシュフロー

呼び出しにより、買い手は、有効期限が切れるまで実際に保有することなく、株式の利点を楽しむことができます。 直感的には、保有期間中にアップサイドが支払われる場合、そのアップサイドに対する権利はオプション保有者によって得られないため、コールの価値は低くなるはずです。 もちろん、プットの場合は逆になります。 この直感は、0％、2％、および5％の配当を伴う配当支払い株の次のグラフで見ることができます。 このモデルは、配当も継続的に複利で支払われることを前提としています。

米国税法の改正により特別配当が議論されている今、株価の一定の割合を超える一時配当の取引オプションに調整係数が表示されることは言及する価値があります。 1回限りの特別配当は、オプションの価格設定に大きな影響を及ぼします。 2004年、MSFTが四半期ごとの通常の0.08ドルに対して、1株あたり3ドルの追加の1回限りの特別配当を発表したとき、オプションが調整されました。

ファクターまたはオプションギリシャ人に対する感度

オプション産業評議会（OIC）には、取引されたオプションの値とギリシャ語を表示する無料の計算機があります。 2018年10月1日からのAAPLの値を、OptionsIndustryCouncilのWebサイトから分析しました。

デルタおよびガンマまたはスポット価格

次のグラフは、2018年10月1日に2018年10月12日に期限が切れるAAPLプットのグラフで、縦線は最終価格を示しています。

以下は、2018年10月1日に有効期限が切れるAAPLコールの場合です。

コールとプットの最後の取引価格は、行使価格と明確に相関しており、このホッケースティック風のグラフを形成します。 ドットが線に合わない理由は、一部のオプションが10月1日に取引されておらず、これらのオプションの最後に取引された価格が、特にディープインザマネーオプションの場合は古いためです。

AAPLのスポット価格が変わるとどうなりますか？ AAPLの価格は、取引所でナノ秒単位で変化します。 直感的に、そしてBSMモデルに基づいて、オプションの価格設定も変更する必要があります。 これは、スポット価格の変化に対してオプションの値がどのように変化するかの近似値であるデルタによって測定されます。 これは、原資産の1ドルの変動に対してオプション値がどれだけ移動するかのおおよその値です。

デルタはヘッジ比率として使用されます。 デルタが0.5のオプションで原資産のポジションをヘッジしようとしている場合、ポジションを完全にヘッジする（そしてデルタニュートラルにする）には2つのオプション（2 x 0.5）が必要になります。 ただし、デルタは概算です。 それは価格の小さな動きと短期間にうまく機能します。 以下の株価の変化に対するコールと、同じ範囲の株価でのデルタの変化との関係を確認します。 コール価格は線としてスムーズに移動しないため、計算されたデルタは曲線のように移動します。 これは、行使価格に近づくほど顕著になります。

変化に対するデルタの変化は、原資産の1ドルの値がガンマと呼ばれることです。 ガンマは常に正の値であり、デルタはコールの場合は正で、プットの場合は負です（バイヤーの場合）。 また、通話の場合、アウトオブザマネーからインザマネー、またはその逆に変わるときに、最大の変化率が発生することも意味します。 行使価格がスポット価格から離れるにつれて、ガンマまたはデルタの変化率はゼロに近づきます（深いアウトオブザマネーまたはインザマネーオプションポジションの場合）。

シータ、または時間値

オプションの価格は、有効期限が切れるまでに実行する必要がある期間によって異なります。 直感的には、有効期限が長くなるほど、最終的にインザマネーになる可能性が高くなります。 したがって、日付の長いオプションは、プットかコールかに関係なく、値が高くなる傾向があります。 その後、時間値は、有効期限が近づくにつれて0に減衰します。

崩壊率は直線ではありません。 斜面を転がるボールの例えを使用すると、それを考えるのは簡単です。 ボールがスロープをさらに下って転がるにつれて速度が上がります。最も遅いのは上部で、最も速いのは下部（満了時）です。 減衰率はシータで表され、コールとプットに対して正です。

Rhoまたは金利

金利は、割引率としての使用を通じてオプションの価値に影響を与えます。 直感的には、コールは、全額を支払うことなく、原株を保有することのメリットを享受することを意味します。 コールバイヤーは株式の全額を購入する必要がないため、理論的には、フル株価とコールオプションの差額を投資することができます。したがって、コールオプションは、割引率が高いほど高い値を持つ必要があります。 金利に対する感応度はRhoによって測定され、金利が高くなるとコールの価値が高まり、プットの場合はその逆になります。

ベガまたはボラティリティ

ベガは、実際にはギリシャ語のアルファベットではありませんが、ボラティリティに対するオプション値の感度を示すために使用されます。 ボラティリティとは、価格が上下する可能性のある大きさを指します。 スポット価格からのボラティリティが高いほど、価格がストライキに達する可能性が高くなります。 したがって、ボラティリティが高いほど、オプションの価格は高くなります。

ボラティリティは通常、インプライドボラティリティ（I "）を使用して埋め戻されます。 インプライドボラティリティは、オプションの取引価格を使用して、BSMモデルで計算されます。 IVは、VIXオプションを通じて、それ自体で取引資産クラスになりました。

非常に穏やかな市場でオプションを購入し、原資産の価格が突然上昇および下降し、価格が以前の状態に戻った場合、オプションの価格が上昇していることがわかります。 これは、IV推定値の改訂によるものです。

オプションの価格に対するベガ、そして実際に他のギリシャ人の影響を要約するには、次の表を参照してください。

プットコールパリティとユースケース

クリエイティブな名前の「A」というポートフォリオがあり、2018年12月21日に満了する250ドルのストライキでAAPLに対するヨーロッパの呼びかけがあり、原資産のAPPL株の1株があるとします。

次に、別のポートフォリオ「B」を作成します。これは、2018年12月21日に満了するストライキ$ 250でのAAPLに対するヨーロッパのコールと、同じ日に満期値$250で満期を迎える米国政府のT-billのみです。

ご覧のとおり、ポートフォリオAとポートフォリオBの両方が満了時に同じ見返りを持っています。 この原則は、プットコールパリティと呼ばれます。 それを述べる別の方法は次のとおりです。

この方程式は、他の位置を模倣するように再配置できます。

1. リスクフリーレートで資金を借りることにより、原資産とプットを保持し、合成コールを作成しました。
2. T-billとコールを所有している間に原資産をショートさせると、合成プットがあります。
3. 原株を保有しながら財務（すなわち、リスクフリー）レートを獲得したい場合は、プットを保持し、コールをショートします。
4. また、コールを保持し、プットをショートし、T-billを保持することにより、原資産の保持を模倣することもできます。

これは、ヨーロッパ式の有効期限、コール、および同じ行使価格でのプットでのみ機能します。

従業員の非取引オプション

非取引会社の従業員ストックオプションは、さまざまな点で上場オプションとは異なります。

1. インザマネーの場合、自動行使はありません。
2. 権利確定要件は流動性を制限します。
3. 担保付き取引所を介して民間企業と直接取引しているため、カウンターパーティリスクは高くなります。
4. 利用可能な分散投資が少ないため、ポートフォリオの集中もより極端です。

これらに加えて、私たちが知っているように、評価は民間企業にとってはまったく異なる球技でもあります。 すでに説明したように、デルタ（株価）、シータ（時間価値）、ロー（金利）、ベガ（ボラティリティ）は、オプション評価の重要な決定要因です。 デルタ、ガンマ、ボラティリティは株式自体が取引されていない可能性があるため、特に決定が難しいため、これらは従業員のストックオプションの評価をより困難にします。

ストックオプションを保有する従業員にとって、留意すべき重要な要素は次のとおりです。

1. ボラティリティは評価に重要な影響を及ぼします。
2. 時間値によるオプションの減衰は、本質的に線形ではありません。 ボールが丘のアナロジーを転がり落ちることを思い出してください。
3. オプションの評価は、本源的価値と時間的価値の両方です。 本質的な価値がないからといって、その選択肢が無価値であるとは限りません。時間はすべての傷を癒し、ギャップを埋めることもできます。 オプションの助成金を受け取るとき、それは通常、金銭的であるか、または金銭的ではなく、本質的な価値がない場合があります。 在庫が増加するにつれて本質的価値を追跡することは直感的ですが、初期の運動の機会費用である時間価値は、常に直感的であるとは限らず、説明されていません。 この機会費用のため、キャッシュフローの必要性、ポートフォリオの多様化、株式の見通しなど、いくつかの正当な理由がある場合にのみ、オプションを早期に行使する必要があります。

別れの考えと用語集

コンポーネントを理解すれば、オプションはそれほど複雑ではありません。 それらは、資本集約的でない方法で金融ポートフォリオを構築および管理できるようにするための、より柔軟な構成要素と考えてください。 ギリシャ人の意味を理解することは、彼らの行動を理解するための第一歩です。

簡単な用語集として、以下は記事全体で言及されているいくつかの重要な用語であり、簡潔に要約されています。

• コールとプット–コールは、指定された日付またはそれ以前に合意された価格で原資産を購入する義務のないオプションです。 プットは、指定された日付またはそれ以前に合意された価格で原資産を売却する義務のないオプションです。
• プレミアム–オプションの売り手（ライター）に購入者が支払う価格はプレミアムと呼ばれます。 取引時のオプションの評価です。
• 行使/行使およびスポット価格–行使または行使価格は、オプションを使用して原資産を売買するための指定価格です。 スポット価格は、スポット市場の原資産の価格です。
• ペイオフ–オプションの満了時のネットキャッシュフロー。 キャッシュフローの1つは行使価格であり、もう1つは資産の市場価値です。
• ヨーロッパおよびアメリカの行使–ヨーロッパスタイルのオプションは、満期前の指定された期間にのみ行使できます。 アメリカンオプションは、満期時または満了前であればいつでも行使することができます。
• 時間価値と本源的価値–時間価値は、ある時点でのプレミアムから本源的価値を差し引いたものです。 オプションの本質的な価値は、いつでも行使価格とスポット価格の差です。