Jak dotrzeć do Greków: kompleksowy przewodnik po cenach opcji

Dotacje na opcje stały się jeszcze bardziej powszechne jako forma rekompensaty, biorąc pod uwagę proliferację startupów w przestrzeni technologicznej i naukach przyrodniczych. Ich ceny są jednak powszechnie źle rozumiane, a wielu pracowników postrzega opcje jako mylącą przepustkę do przyszłego bogactwa.

Istnieją konsekwencje nieustalenia ceny opcji na poziomie lub zbliżonej do wartości godziwej (FMV) w momencie przyznania, tak jak IRC 409A w Stanach Zjednoczonych, który nakłada karną stawkę podatku na opcje przyznane poniżej FMV.

W związku z tym napisałem ten artykuł, aby omówić podstawy wyceny opcji, aby był jak najbardziej użyteczny, nie jest związany z żadnym konkretnym kodem podatkowym ani jurysdykcją. Omówione zasady odnoszą się przede wszystkim do opcji będących przedmiotem obrotu na akcje notowane na giełdzie, ale wiele metod heurystycznych można zastosować do opcji nienotowanych lub opcji na akcje nienotowane.

Podstawy wyceny opcji

Wartość opcji w momencie wygaśnięcia

Opcje, które mają formę kupna i sprzedaży, dają nabywcy prawo, ale nie obowiązek. W rezultacie zwykłe opcje waniliowe mogą być warte coś lub nic po wygaśnięciu; nie mogą mieć wartości ujemnej dla kupującego, ponieważ po zakupie nie występują wypływy pieniężne netto. Sprzedawca zwykłych opcji waniliowych znajduje się po przeciwnej stronie handlu i może stracić tylko tyle, ile zyskuje kupujący. Jest to gra o sumie zerowej, gdy jest to jedyna transakcja.

Modelowanie połączeń

Wezwanie do kupna akcji daje prawo, ale nie obowiązek zakupu instrumentu bazowego po cenie wykonania. Jeśli cena spot jest wyższa od realizacji, posiadacz połączenia wykona ją w terminie zapadalności. Wypłatę (nie zysk) w terminie zapadalności można modelować za pomocą poniższego wzoru i wykreślić na wykresie.

Formuła Excel dla połączenia: = MAX (0, Share Price - Strike Price)

Modelowanie Putów

W ten sam sposób put, który daje prawo do sprzedaży po cenie wykonania, może być modelowany jak poniżej.

Formuła programu Excel dla opcji sprzedaży: = MAX(0, Strike Price - Share Price)

Pieniądz opcji i jej znaczenie

W oparciu o cenę wykonania i cenę akcji w dowolnym momencie, wycena opcji może być w pieniądzu, w cenie lub poza nią:

• Gdy cena wykonania i ceny akcji są takie same, opcja jest „za pieniądze”.
• Kiedy wykonanie call jest poniżej ceny akcji, jest to in-the-money (odwrotne dla opcji put).
• Gdy wykonanie połączenia jest wyższe od ceny akcji (odwrotne dla opcji sprzedaży), oznacza to, że nie ma pieniędzy.

Opcje out-of-the-money i at-the-money nie mają dla nich żadnej wartości wewnętrznej, ale mogą mieć wartość w czasie przed terminem zapadalności. Rozróżnienie na pieniężność jest istotne, ponieważ giełdy handlujące opcjami mają zasady dotyczące automatycznego wykonania po wygaśnięciu w zależności od tego, czy opcja jest in-the-money, czy nie. Na przykład: zasady CBOE to:

Options Clearing Corporation posiada przepisy dotyczące automatycznego wykonania niektórych opcji in-the-money w momencie wygaśnięcia, procedurę określaną również jako wykonanie przez wyjątek. Ogólnie rzecz biorąc, OCC automatycznie wykona każde wygasające wezwanie do kapitału lub wpłacone na konto klienta, którego wartość in-the-money wynosi 0,01 USD lub więcej, oraz opcję indeksu, która wynosi 0,01 USD lub więcej w pieniądzu. Jednak określony próg firmy maklerskiej dla takiego automatycznego wykonania może, ale nie musi być taki sam jak w przypadku OCC.

Wycena opcji będzie zatem zależeć od tego, czy cena spot w momencie wygaśnięcia jest wyższa czy niższa od ceny wykonania. Intuicyjnie, wartość opcji przed wygaśnięciem będzie oparta na pewnej mierze prawdopodobieństwa, że ​​znajduje się ona w pieniądzu z przepływem pieniężnym zdyskontowanym odpowiednią stopą procentową.

Model wyceny opcji Blacka-Scholesa-Mertona (BSM)

Chociaż opcje były używane od historycznego okresu cywilizacji greckiej, rzymskiej i fenickiej, Fisher Black pierwotnie wymyślił ten model wyceny opcji w 1973 r., szeroko stosowany obecnie, łącząc go z wyprowadzeniem wzoru wymiany ciepła w fizyce. Modyfikacje modelu dokonane przez Scholesa i Mertona przekształciły go w model Black-Scholes-Merton. Formuła wygląda następująco:

• Wywołania: \(C_t = S_t e^{- \delta T} N \left (d_1 \right ) - K e^{ \left (- r T \right)} N \left (d_2 \right )\)
• Puts: \(p_t = K e^{ \left (- r T \right )} N(d_2) - S_t e^{- \delta T} N(- d_1)\)
• \(d_1 = \ln\left ( \frac{S_0}{K} \right ) + \left ( r + \frac{\sigma ^2}{2} \right )\left ( \frac{T}{\ sigma \sqrt{T}} \right )\)
• \(d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\)

Nie dajmy się przytłoczyć tymi skomplikowanymi formułami i najpierw zrozummy, co faktycznie pokazuje model. W przypadku kupna ich wartość przed terminem zapadalności będzie zależeć od ceny spot akcji bazowej i jej zdyskontowanej wartości, następnie od ceny wykonania i jej zdyskontowanej wartości, a na końcu od pewnej miary prawdopodobieństwa. Składniki tego rozkładają się w następujący sposób:

• \(e^{ \left ( - r T \right )}\) i \(e^{- \delta T}\) to sposoby na zastosowanie ciągłej kapitalizacji do wypływu i przypływu gotówki z wykonania opcji.
• K i S to odpowiednio ceny wykonania i ceny spot.

Pozostała część kalkulacji polega na zdyskontowaniu wypływu środków pieniężnych według stale kapitalizowanej stopy dyskontowej, z uwzględnieniem ewentualnych dywidend lub przepływów pieniężnych przed terminem zapadalności oraz, w przypadku prawdopodobieństwa, przy użyciu rozkładu normalnego.

Założenia prawdopodobieństwa

Model BSM zakłada rozkład normalny (rozkład krzywej dzwonowej lub rozkład Gaussa) stale składanych stóp zwrotu. Model implikuje również, że wraz ze wzrostem stosunku bieżącej ceny akcji do ceny wykonania rośnie prawdopodobieństwo wykonania opcji kupna, przyjmując czynniki N(d) bliższe 1 i sugerując, że niepewność niewykonania opcji maleje. W miarę zbliżania się współczynników N(d) do 1, wynik wzoru zbliża się do wartości wewnętrznej wartości opcji kupna. Inną implikacją jest to, że gdy wariancja (σ) wzrasta, czynniki N(d) rozchodzą się i sprawiają, że opcja kupna jest bardziej wartościowa.

N(D2) to prawdopodobieństwo, że cena akcji jest wyższa od ceny wykonania w terminie zapadalności. N(D1) to termin służący do obliczania oczekiwanej wartości napływu środków pieniężnych/akcji w terminie zapadalności tylko wtedy, gdy cena akcji jest wyższa od ceny wykonania. N(D1) to prawdopodobieństwo warunkowe.

Zysk dla kupującego połączenie wynika z dwóch czynników występujących w terminie zapadalności:

1. Spot musi być powyżej ceny wykonania. (Kierunek).
2. Różnica między ceną spot a ceną wykonania w terminie zapadalności (Quantum).

Wyobraź sobie, połączenie z ceną wykonania 100 USD. Jeżeli cena rynkowa akcji wynosi 101 USD lub 150 USD, pierwszy warunek jest spełniony. Drugi warunek dotyczy tego, czy zysk wynosi 1 USD czy 50 USD. Termin D1 łączy te dwa elementy w warunkowe prawdopodobieństwo, że jeśli cena spot w terminie zapadalności jest powyżej ceny realizacji, jaka będzie jego oczekiwana wartość w stosunku do aktualnej ceny spot.

Konfigurowanie modelu BSM w programie Excel

Poniższy model jest tym, czego używam w Excelu do obliczeń BSM (zacienione komórki to obliczenia połączone z innymi komórkami):

Wzór na to jest następujący:

Komórka B2 = Data wyceny Komórka B3 = Cena giełdowa/akcji Komórka B4 = Cena wykonania Komórka B5 = Zmienność domniemana Komórka B6 = Stopa wolna od ryzyka w ujęciu rocznym Komórka B7 = Czas do wygaśnięcia w latach (obliczany jako (B10-B2)/365) Komórka B8 = Stopa dywidendy (obliczona jako B11/B3) Komórka B9 = Liczba opcji (ustawić na 1, aby obliczyć wartość nie na podstawie kontraktu) Komórka B10 = Data wygaśnięcia Komórka B11 = Roczna dywidenda w walutach Komórka B13 = D1 =(LN((B3\EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7)) Komórka B14 = D2 = B13-B5SQRT(B7) Cell B15 = N(D1) = ROZKŁAD.NORMALNY(B13) Cell B16 = N(D2) = ROZKŁAD.NORMALNY(B14) Cell B17 = Call = (B3\EXP(-B8\B7))\ B15-B4\EXP(-B6\B7)\B16 Cell B18 = Put ​​= (B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)

Przepływy pieniężne Instrumentu Bazowego

Połączenie pozwala kupującemu cieszyć się wzrostem wartości akcji bez konieczności trzymania ich przez okres do wygaśnięcia. Intuicyjnie, jeśli zwyżka zostanie wypłacona w okresie utrzymywania, wówczas opcje kupna powinny być mniej wartościowe, ponieważ prawo do tego zwyżki nie pochodzi od posiadacza opcji. Oczywiście w przypadku opcji sprzedaży sytuacja jest odwrotna. Intuicję tę można zobaczyć na poniższych wykresach dla akcji wypłacających dywidendę z dywidendą 0%, 2% i 5%. Model zakłada, że ​​dywidendy są również wypłacane według stałej stopy procentowej.

Teraz, gdy omawiane są specjalne dywidendy ze względu na zmiany w amerykańskim kodeksie podatkowym, warto wspomnieć, że zobaczysz czynnik korygujący opcje handlowe dla jednorazowych dywidend powyżej pewnego procentu ceny akcji. Jednorazowe dywidendy specjalne mają duży wpływ na wycenę opcji. W 2004 r., kiedy MSFT ogłosiło dodatkową jednorazową dywidendę specjalną w wysokości 3 USD na akcję w stosunku do normalnego 0,08 USD kwartalnego, opcje zostały skorygowane.

Wrażliwość na czynniki lub opcję Grecy

Rada Przemysłu Opcji (OIC) ma darmowy kalkulator, który wyświetla wartości opcji w obrocie i Greków. Przeanalizowałem wartości AAPL od 1 października 2018 r. na stronie internetowej Options Industry Council.

Delta i Gamma lub cena spot

Poniższy wykres dotyczy sprzedaży AAPL wygasającej 12 października 2018 r. 1 października 2018 r. z pionową linią wskazującą ostatnią cenę.

Poniższe informacje dotyczą połączeń AAPL wygasających 12 października 2018 r. 1 października 2018 r.

Ostatnia cena kupna i sprzedaży jest wyraźnie skorelowana z ceną wykonania i tworzy ten wykres przypominający kij hokejowy. Powodem, dla którego kropki nie są wyrównane do linii, jest to, że niektóre opcje nie były przedmiotem obrotu 1 października, a ostatnia cena tych opcji jest starsza, szczególnie w przypadku opcji deep in-the-money.

Co się stanie, gdy zmieni się cena spot dla AAPL? Cena AAPL zmienia się na giełdzie o nanosekundy. Intuicyjnie iw oparciu o model BSM cena opcji również powinna ulec zmianie. Jest to mierzone przez Delta, która jest przybliżeniem, jak zmienia się wartość opcji przy zmianie ceny spot. Jest to przybliżona wartość zmiany wartości opcji w przypadku zmiany 1 USD instrumentu bazowego.

Jako wskaźnik zabezpieczenia stosuje się Delta. Jeśli chcesz zabezpieczyć pozycję bazową opcją, która ma delta 0,5, będziesz potrzebować dwóch opcji (2 x 0,5), aby całkowicie zabezpieczyć pozycję (i uczynić ją neutralną delta). Delta jest jednak przybliżeniem. Działa dobrze przy niewielkich zmianach ceny i przez krótki czas. Poniżej widzimy związek wezwania do zmian cen akcji, a także zmianę delty w tym samym zakresie cen akcji. Ceny połączeń nie poruszają się płynnie jako linia iw konsekwencji obliczona delta porusza się jak krzywa. Staje się to bardziej zauważalne bliżej ceny wykonania.

Zmiana delta dla zmiany wynosi 1 USD. Wartość instrumentu bazowego nosi nazwę Gamma. Gamma jest zawsze wartością dodatnią, a Delta jest dodatnia dla opcji call i ujemna dla opcji put (dla kupującego). Oznacza to również, że w przypadku połączenia najwyższa zmiana procentowa nastąpi, gdy połączenie z „braku pieniędzy” stanie się „in-the-money” lub odwrotnie. Gamma lub tempo zmiany delta zbliża się do zera, gdy cena wykonania oddala się od ceny spot (dla głębokich pozycji opcji out-of-the-money lub in-the-money).

Theta, czyli wartość czasu

Cena opcji zależy od tego, jak długo musi upłynąć do wygaśnięcia. Intuicyjnie, im dłuższy czas do wygaśnięcia, tym większe prawdopodobieństwo, że trafi do pieniędzy. W związku z tym opcje o dłuższym terminie ważności mają zwykle wyższe wartości, niezależnie od tego, czy są to opcje sprzedaży, czy kupna. Wartość czasu następnie spada do 0, gdy zbliża się do wygaśnięcia.

Tempo zaniku nie jest linią prostą. Łatwiej o tym myśleć, używając analogii kuli toczącej się po zboczu. Szybkość wzrasta, gdy piłka toczy się dalej w dół zbocza – najwolniej jest na górze, a najszybszy na dole (podczas wygaśnięcia). Tempo zaniku jest reprezentowane przez Theta i jest dodatnie dla połączeń i put.

Rho lub stopy procentowe

Stopy procentowe mają wpływ na wartość opcji poprzez zastosowanie ich jako stopy dyskontowej. Intuicyjnie wezwania oznaczają uzyskanie korzyści z posiadania akcji bazowych bez podania pełnej ceny. Ponieważ nabywca kupna nie musi kupować pełnej ceny akcji, różnica między pełną ceną akcji a opcją kupna może teoretycznie zostać zainwestowana, a zatem opcja kupna powinna mieć wyższą wartość przy wyższych stopach dyskontowych. Wrażliwość na stopy procentowe jest mierzona przez Rho, przy czym wyższe stopy procentowe zwiększają wartość połączeń i odwrotnie dla opcji sprzedaży.

Vega lub zmienność

Vega, choć właściwie nie w alfabecie greckim, jest używana do oznaczenia wrażliwości wartości opcji na zmienność. Zmienność odnosi się do możliwej wielkości ruchów cen w górę lub w dół. Im wyższa zmienność ceny spot, tym większe prawdopodobieństwo, że cena osiągnie realizację. Stąd im wyższa zmienność, tym wyższa cena opcji.

Zmienność jest zwykle wypełniana wstecznie za pomocą zmienności implikowanej (I). Implikowana zmienność jest obliczana za pomocą modelu BSM, przy użyciu cen opcji w obrocie. IV sam stał się klasą aktywów w obrocie poprzez opcje VIX.

Jeśli kupujesz opcję na bardzo spokojnym rynku i następuje nagły wzrost i spadek ceny instrumentu bazowego, a cena kończy się tam, gdzie była wcześniej, możesz zauważyć, że cena opcji wzrosła. Wynika to z rewizji szacunków IV.

Podsumowując wpływ Vegi, a także innych Greków, na ceny opcji odsyłamy do poniższej tabeli.

Parzystość put-call i przypadki użycia

Wyobraź sobie, że masz portfel, twórczo nazwany „A”, który ma tylko europejskie wezwanie do AAPL przy strajku 250 USD, które wygasa 21 grudnia 2018 r., oraz jedną akcję bazowej akcji APPL:

Następnie tworzysz kolejny portfel, „B”, który ma tylko europejskie wezwanie do AAPL o wartości 250 USD, które wygasa 21 grudnia 2018 r., oraz amerykański rządowy bonów skarbowy o terminie zapadalności 250 USD.

Jak widać, zarówno portfel A, jak i portfel B mają taką samą wypłatę w momencie wygaśnięcia. Ta zasada nazywa się parzystością put-call. Innym sposobem określenia tego jest:

To równanie można przestawić, aby naśladować inne pozycje:

1. Trzymaj instrument bazowy i opcję sprzedaży, pożyczając środki o oprocentowaniu wolnym od ryzyka, a utworzysz syntetyczną opcję kupna .
2. Skróć instrument bazowy, mając bony skarbowe i opcję call, a otrzymasz syntetyczną opcję put.
3. Jeśli chcesz zarabiać na oprocentowaniu skarbowym (tj. bez ryzyka ), trzymając akcje bazowe, trzymaj opcję sprzedaży i kup krótko.
4. Możesz również naśladować trzymanie instrumentu bazowego, wstrzymując call, skracając pozycję put i trzymając bony skarbowe.

Będzie to działać tylko w przypadku wygaśnięcia, połączeń i opcji sprzedaży w stylu europejskim z tą samą ceną wykonania.

Opcje nienotowane dla pracowników

Opcje na akcje pracownicze dla spółek nienotowanych różnią się od opcji giełdowych na różne sposoby:

1. Nie ma automatycznego ćwiczenia, gdy jest to pieniądze.
2. Wymogi dotyczące nabywania uprawnień ograniczają płynność.
3. Ryzyko kontrahenta jest wyższe, ponieważ masz do czynienia bezpośrednio z prywatną korporacją na zabezpieczonej giełdzie.
4. Koncentracja portfela jest również bardziej ekstremalna, ponieważ dostępnych jest mniej środków dywersyfikacji.

Oprócz tego, jak wiemy, wycena to też zupełnie inna gra w piłkę dla prywatnych firm. Jak wspomnieliśmy, delta (cena akcji), theta (wartość w czasie), rho (stopa procentowa) i vega (zmienność) są ważnymi wyznacznikami wyceny opcji. To sprawia, że ​​wycena opcji na akcje dla pracowników jest trudniejsza, ponieważ Delta, Gamma i Volatility są szczególnie trudne do ustalenia, ponieważ same akcje mogą nie być przedmiotem obrotu.

W przypadku pracownika posiadającego opcje na akcje, kluczowymi czynnikami, o których należy pamiętać, są:

1. Zmienność ma kluczowy wpływ na wycenę.
2. Zanik opcji ze względu na wartość czasu nie ma charakteru liniowego. Zapamiętaj analogię toczącą się ze wzgórza.
3. Wycena opcji jest zarówno wartością wewnętrzną jak i wartością czasową. Tylko dlatego, że nie ma wartości wewnętrznej, nie oznacza to, że opcja jest bezwartościowa, czas leczy wszystkie rany i może również wypełnić lukę. Kiedy otrzymujesz przyznanie opcji, zwykle jest to kwota „w cenie” lub może być „bez pieniędzy”, bez rzeczywistej wartości. Śledzenie wartości wewnętrznej w miarę wzrostu zapasów jest intuicyjne, ale wartość czasowa, koszt alternatywny wcześniejszego ćwiczenia, nie zawsze jest intuicyjna ani rozliczana. Ze względu na ten koszt alternatywny powinieneś wykonać opcję wcześniej tylko z kilku uzasadnionych powodów, takich jak potrzeba przepływu środków pieniężnych, dywersyfikacja portfela lub perspektywy akcji.

Rozstanie myśli i słowniczek

Opcje nie są tak skomplikowane, jeśli zrozumiesz ich składniki. Pomyśl o nich jako o bardziej elastycznych elementach konstrukcyjnych, które umożliwiają budowanie portfeli finansowych i zarządzanie nimi w mniej kapitałochłonny sposób. Zrozumienie implikacji Greków to pierwszy krok w kierunku zrozumienia ich zachowania.

Jako krótki słowniczek, poniżej znajdują się niektóre kluczowe terminy wymienione w całym artykule, podsumowane w zwięzły sposób:

• Call i put – Call to opcja bez obowiązku zakupu instrumentu bazowego po uzgodnionej cenie w określonym dniu lub przed nim. Put to opcja bez obowiązku sprzedaży bazowego składnika aktywów po uzgodnionej cenie w określonym dniu lub przed nim.
• Premia – Cena płacona przez kupującego sprzedającemu (wystawiającemu) opcję nazywana jest premią. Jest to wycena opcji w momencie zawarcia transakcji.
• Ceny wykonania/wykonania i ceny spot – Cena wykonania lub wykonania to określona cena kupna/sprzedaży aktywów bazowych przy użyciu opcji. Cena spot to cena aktywów bazowych na rynku spot.
• Wypłata — przepływ środków pieniężnych netto po wygaśnięciu opcji. Jednym z przepływów pieniężnych jest cena wykonania, a drugim wartość rynkowa aktywa.
• Wykonanie europejskie i amerykańskie – opcja w stylu europejskim może być wykonana tylko w określonym czasie przed wygaśnięciem. Opcję amerykańską można wykonać w dowolnym momencie w momencie wygaśnięcia lub przed jego wygaśnięciem.
• Wartość czasu i wartość wewnętrzna — wartość czasu to premia w danym czasie minus wartość wewnętrzna. Wewnętrzna wartość opcji to różnica między ceną wykonania a ceną spot w dowolnym momencie.