Anreise zu den Griechen: Der umfassende Leitfaden zur Preisgestaltung von Optionen

In Anbetracht der Zunahme von Start-ups in den Bereichen Technologie und Biowissenschaften sind Optionszuschüsse als Vergütungsform noch üblicher geworden. Ihre Preisgestaltung wird jedoch weitgehend missverstanden, und viele Mitarbeiter sehen Optionen als verwirrende Eintrittskarte für zukünftigen Wohlstand.

Es hat Konsequenzen, wenn der Preis von Optionen zum Zeitpunkt der Gewährung nicht auf oder in der Nähe des fairen Marktwerts (FMV) festgesetzt wird, wie z.

Vor diesem Hintergrund habe ich diesen Artikel geschrieben, um die Grundlagen der Optionspreise zu behandeln, um ihn so weit wie möglich nützlich zu machen, er ist nicht an ein bestimmtes Steuergesetz oder eine bestimmte Gerichtsbarkeit gebunden. Die besprochenen Prinzipien gelten hauptsächlich für gehandelte Optionen auf börsennotierte Aktien, aber viele der Heuristiken können auf nicht gehandelte Optionen oder Optionen auf nicht gehandelte Aktien angewendet werden.

Grundlagen der Optionsbewertung

Wert der Optionen bei Verfall

Optionen, die in Form von Calls und Puts vorliegen, gewähren einem Käufer ein Recht, aber keine Verpflichtung. Infolgedessen können Plain-Vanilla-Optionen bei Verfall etwas oder nichts wert sein; sie können für einen Käufer keinen negativen Wert haben, da es nach dem Kauf keine Nettomittelabflüsse gibt. Ein Verkäufer von Plain-Vanilla-Optionen steht auf der anderen Seite des Handels und kann nur so viel verlieren, wie der Käufer gewinnt. Es ist ein Nullsummenspiel, wenn dies die einzige Transaktion ist.

Modellierung von Anrufen

Ein Call auf eine Aktie gewährt ein Recht, aber keine Verpflichtung, den Basiswert zum Ausübungspreis zu kaufen. Liegt der Kassapreis über dem Ausübungspreis, übt der Inhaber eines Calls diesen bei Fälligkeit aus. Die Auszahlung (kein Gewinn) bei Fälligkeit kann mithilfe der folgenden Formel modelliert und in einem Diagramm dargestellt werden.

Excel-Formel für einen Call: = MAX (0, Share Price - Strike Price)

Puts modellieren

Auf die gleiche Weise kann ein Put, der zum Verkauf zum Ausübungspreis berechtigt, wie folgt modelliert werden.

Excel-Formel für einen Put: = MAX(0, Strike Price - Share Price)

Moneyness einer Option und ihre Relevanz

Basierend auf dem Ausübungspreis und dem Aktienkurs zu jedem Zeitpunkt kann der Optionspreis im, am oder aus dem Geld liegen:

• Wenn Ausübungspreis und Aktienkurs gleich sind, ist die Option am Geld.
• Wenn der Ausübungspreis eines Calls unter dem Aktienkurs liegt, ist er im Geld (umgekehrt für einen Put).
• Wenn der Ausübungspreis eines Calls über dem Aktienkurs liegt (umgekehrt bei einem Put), ist er aus dem Geld.

Out-of-the-money- und at-the-money-Optionen haben keinen inneren Wert, können aber vor Fälligkeit einen Zeitwert haben. Die Unterscheidung der Moneyness ist relevant, da Optionshandelsbörsen Regeln für die automatische Ausübung bei Ablauf haben, basierend darauf, ob eine Option im Geld ist oder nicht. Zum Beispiel: Die Regeln der CBOE lauten:

Die Options Clearing Corporation hat Vorkehrungen für die automatische Ausübung bestimmter Optionen im Geld bei Ablauf getroffen, ein Verfahren, das auch als Ausübung ausnahmsweise bezeichnet wird. Im Allgemeinen wird OCC automatisch jeden ablaufenden Call oder Put auf ein Kundenkonto ausüben, der 0,01 $ oder mehr im Geld ist, und eine Indexoption, die 0,01 $ oder mehr im Geld ist. Der Schwellenwert einer bestimmten Maklerfirma für eine solche automatische Ausübung kann jedoch mit dem von OCC übereinstimmen oder nicht.

Der Optionspreis hängt daher davon ab, ob der Kassakurs bei Verfall über oder unter dem Ausübungspreis liegt. Intuitiv basiert der Wert einer Option vor Ablauf auf einem Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Geld ist, wobei der Cashflow mit einem angemessenen Zinssatz abgezinst wird.

Black-Scholes-Merton (BSM) Optionsbewertungsmodell

Obwohl Optionen seit der historischen Periode der griechischen, römischen und phönizischen Zivilisationen verwendet wurden, entwickelte Fisher Black ursprünglich 1973 dieses Optionspreismodell, das heute ausgiebig verwendet wird, und verband es mit der Ableitung der Wärmeübertragungsformel in der Physik. Die Modifikationen des Modells durch Scholes und Merton entwickelten es zum Black-Scholes-Merton-Modell. Die Formel sieht wie folgt aus:

• Aufrufe: \(C_t = S_t e^{- \delta T} N \left (d_1 \right ) - K e^{ \left (- r T \right)} N \left (d_2 \right )\)
• Puts: \(p_t = K e^{ \left (- r T \right )} N(d_2) - S_t e^{- \delta T} N(- d_1)\)
• \(d_1 = \ln\left ( \frac{S_0}{K} \right ) + \left ( r + \frac{\sigma ^2}{2} \right )\left ( \frac{T}{\ Sigma \sqrt{T}} \right )\)
• \(d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\)

Lassen wir uns von diesen aufwendigen Formeln nicht überwältigen und verstehen wir zunächst, was das Modell tatsächlich zeigt. Bei Calls hängt ihr Wert vor Fälligkeit vom Kassapreis der zugrunde liegenden Aktie und ihrem abgezinsten Wert, dann vom Ausübungspreis und ihrem abgezinsten Wert und schließlich von einem gewissen Maß an Wahrscheinlichkeit ab. Die Bestandteile davon gliedern sich wie folgt:

• \(e^{ \left ( - r T \right )}\) und \(e^{- \delta T}\) sind Möglichkeiten, eine kontinuierliche Aufzinsung auf einen Geldabfluss und einen Geldzufluss aus der Ausübung der Option anzuwenden.
• K und S sind die Ausübungs- bzw. Kassapreise.

Der Rest der Berechnung dreht sich alles um die Diskontierung des Geldabflusses mit einem kontinuierlich zusammengesetzten Diskontsatz, Anpassung um etwaige Dividenden oder Cashflows vor Fälligkeit und für die Wahrscheinlichkeit unter Verwendung einer Normalverteilung.

Wahrscheinlichkeitsannahmen

Das BSM-Modell geht von einer Normalverteilung (Glockenkurvenverteilung oder Gauß-Verteilung) kontinuierlich zusammengesetzter Renditen aus. Das Modell impliziert auch, dass mit steigendem Verhältnis des aktuellen Aktienkurses zum Ausübungspreis die Wahrscheinlichkeit der Ausübung der Call-Option steigt, wodurch N(d) Faktoren näher an 1 herangeführt werden, was impliziert, dass die Unsicherheit der Nichtausübung der Option abnimmt. Je näher die N(d)-Faktoren an 1 herankommen, desto näher nähert sich das Ergebnis der Formel dem Wert des inneren Wertes der Call-Option. Die andere Implikation ist, dass wenn die Varianz (σ) zunimmt, N(d) Faktoren divergieren und die Call-Option wertvoller machen.

N(D2) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs bei Fälligkeit über dem Ausübungspreis liegt. N(D1) ist der Begriff für die Berechnung des erwarteten Werts von Bar-/Aktienzuflüssen bei Fälligkeit nur dann, wenn der Aktienkurs über dem Ausübungspreis liegt. N(D1) ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.

Ein Gewinn für den Call-Käufer ergibt sich aus zwei Faktoren, die bei Fälligkeit auftreten:

1. Der Spot muss über dem Ausübungspreis liegen. (Richtung).
2. Die Differenz zwischen Kassa- und Ausübungspreis bei Fälligkeit (Quantum).

Stellen Sie sich vor, ein Call zum Ausübungspreis von 100 $. Wenn der Kassakurs der Aktie 101 $ oder 150 $ beträgt, ist die erste Bedingung erfüllt. Bei der zweiten Bedingung geht es darum, ob der Gewinn 1 $ oder 50 $ beträgt. Der Term D1 kombiniert diese beiden zu einer bedingten Wahrscheinlichkeit, dass, wenn der Spot bei Fälligkeit über dem Ausübungspreis liegt, wie hoch sein erwarteter Wert im Verhältnis zum aktuellen Spotpreis sein wird.

Einrichten des BSM-Modells in Excel

Das folgende Modell verwende ich in Excel für BSM-Berechnungen (die schattierten Zellen sind Berechnungen, die mit anderen Zellen verknüpft sind):

Die Formel dafür lautet wie folgt:

Zelle B2 = Bewertungsdatum Zelle B3 = Aktie/Kassakurs Zelle B4 = Ausübungspreis Zelle B5 = Implizierte Volatilität Zelle B6 = Risikofreier Satz auf Jahresbasis Zelle B7 = Restlaufzeit in Jahren (berechnet als (B10-B2)/365) Zelle B8 = Dividendenrendite (berechnet als B11/B3) Zelle B9 = Anzahl der Optionen (auf 1 setzen, um den Wert ohne Kontrakt zu berechnen) Zelle B10 = Ablaufdatum Zelle B11 = Jährliche Dividende in Währung Zelle B13 = D1 =(LN((B3\EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7)) Zelle B14 = D2 = B13-B5SQRT(B7) Zelle B15 = N(D1) = NORMSDIST(B13) Zelle B16 = N(D2) = NORMSDERT(B14) Zelle B17 = Anruf = (B3\EXP(-B8\B7))\ B15-B4\EXP(-B6\B7)\B16 Zelle B18 = Put ​​= (B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)

Cashflows des Basiswerts

Ein Call lässt den Käufer das Aufwärtspotenzial einer Aktie genießen, ohne sie wirklich für einen Zeitraum bis zum Verfall zu halten. Wenn der Vorteil während der Haltedauer ausgezahlt wird, sollten die Calls intuitiv weniger wertvoll sein, da das Recht auf diesen Vorteil nicht vom Optionsinhaber abgeleitet wird. Bei Puts gilt natürlich das Umgekehrte. Diese Intuition ist in den folgenden Grafiken für eine Dividendenaktie mit 0 %, 2 % und 5 % Dividende zu sehen. Das Modell geht davon aus, dass auch Dividenden zu einem kontinuierlich verzinsten Zinssatz ausgezahlt werden.

Jetzt, wo Sonderdividenden aufgrund von Änderungen im US-Steuerrecht diskutiert werden, ist es erwähnenswert, dass Sie für einmalige Dividenden oberhalb eines bestimmten Prozentsatzes des Aktienkurses einen Anpassungsfaktor für gehandelte Optionen sehen werden. Einmalige Sonderdividenden haben einen großen Einfluss auf die Optionspreise. Als MSFT im Jahr 2004 eine zusätzliche einmalige Sonderdividende von 3 USD pro Aktie gegenüber den üblichen vierteljährlichen 0,08 USD ankündigte, wurden die Optionen angepasst.

Empfindlichkeit gegenüber Faktoren oder Optionsgriechen

Options Industry Council (OIC) hat einen kostenlosen Rechner, der die gehandelten Optionswerte und die Griechen anzeigt. Ich habe die Werte für AAPL vom 1. Oktober 2018 von der Website des Options Industry Council analysiert.

Delta und Gamma oder Spotpreis

Die folgende Grafik gilt für AAPL-Puts, die am 12. Oktober 2018 am 01. Oktober 2018 auslaufen, wobei die vertikale Linie den letzten Preis anzeigt.

Das Folgende gilt für AAPL-Aufrufe, die am 12. Oktober 2018 am 01. Oktober 2018 auslaufen.

Der zuletzt gehandelte Preis von Calls und Puts korreliert eindeutig mit dem Ausübungspreis und bildet dieses hockeyschlägerähnliche Diagramm. Der Grund, warum die Punkte nicht an einer Linie ausgerichtet sind, liegt darin, dass einige der Optionen nicht am 1. Oktober gehandelt wurden und der letzte gehandelte Preis dieser Optionen älter ist, insbesondere bei Optionen, die tief im Geld liegen.

Was passiert, wenn sich der Spotpreis für AAPL ändert? Der Preis von AAPL ändert sich an der Börse um Nanosekunden. Intuitiv und basierend auf dem BSM-Modell sollte sich auch der Optionspreis ändern. Dies wird durch Delta gemessen, das die Annäherung ist, wie sich der Wert einer Option bei einer Änderung des Kassapreises ändert. Es ist ein ungefährer Wert, um wie viel sich der Optionswert bei einer Änderung von 1 $ des Basiswerts bewegt.

Delta wird als Absicherungsverhältnis verwendet. Wenn Sie eine zugrunde liegende Position mit einer Option mit einem Delta von 0,5 absichern möchten, benötigen Sie zwei Optionen (2 x 0,5), um die Position vollständig abzusichern (und sie deltaneutral zu machen). Delta ist jedoch eine Annäherung. Es funktioniert gut für eine kleine Preisbewegung und für kurze Zeiträume. Wir sehen die Beziehung des Aufrufs zu Änderungen des Aktienkurses unten sowie die Änderung des Deltas über dieselbe Spanne von Aktienkursen. Die Call-Preise bewegen sich nicht glatt als Linie und folglich bewegt sich das berechnete Delta wie eine Kurve. Dies macht sich in der Nähe des Ausübungspreises stärker bemerkbar.

Die Änderung des Deltas für eine Änderung des Werts von 1 $ des Basiswerts wird als Gamma bezeichnet. Gamma ist immer ein positiver Wert und Delta ist positiv für einen Call und negativ für einen Put (für den Käufer). Das bedeutet auch, dass bei einem Call die höchste prozentuale Änderung auftritt, wenn er von „out-of-the-money“ zu „in-the-money“ wechselt oder umgekehrt. Gamma oder die Änderungsrate von Delta nähert sich Null, wenn sich der Ausübungspreis vom Kassapreis entfernt (für weit aus dem Geld oder im Geld liegende Optionspositionen).

Theta oder Zeitwert

Der Preis einer Option hängt davon ab, wie lange sie bis zum Verfall laufen muss. Intuitiv gilt: Je länger die Laufzeit, desto höher die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Geld landet. Daher haben Optionen mit längerer Laufzeit tendenziell höhere Werte, unabhängig davon, ob es sich um Puts oder Calls handelt. Der Zeitwert fällt anschließend auf 0 ab, wenn er sich dem Ablauf nähert.

Die Zerfallsrate ist keine gerade Linie. Es ist einfacher, sich das vorzustellen, indem man die Analogie eines Balls verwendet, der einen Abhang hinunterrollt. Die Geschwindigkeit nimmt zu, wenn der Ball weiter den Hang hinunterrollt – am langsamsten oben und am schnellsten unten (bei Ablauf). Die Zerfallsrate wird durch Theta dargestellt und ist für Calls und Puts positiv.

Rho oder Zinssätze

Zinssätze wirken sich durch die Verwendung als Abzinsungssatz auf den Optionswert aus. Intuitiv implizieren Calls, dass man das Aufwärtspotenzial erhält, wenn man die zugrunde liegenden Aktien hält, ohne den vollen Preis auszuteilen. Da ein Call-Käufer nicht den vollen Preis der Aktie kaufen muss, könnte die Differenz zwischen dem vollen Aktienpreis und der Call-Option theoretisch investiert werden, und daher sollte die Call-Option einen höheren Wert für höhere Diskontsätze haben. Die Zinssensitivität wird durch Rho gemessen, wobei höhere Zinssätze den Wert von Calls erhöhen und umgekehrt Puts.

Vega oder Volatilität

Vega, obwohl nicht wirklich im griechischen Alphabet, wird verwendet, um die Empfindlichkeit des Optionswerts gegenüber der Volatilität zu bezeichnen. Volatilität bezieht sich auf das mögliche Ausmaß von Preisbewegungen nach oben oder unten. Je höher die Volatilität eines Spotpreises ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis den Ausübungspreis erreicht. Je höher die Volatilität, desto höher der Optionspreis.

Die Volatilität wird normalerweise unter Verwendung der impliziten Volatilität (I) aufgefüllt. Die implizite Volatilität wird mit dem BSM-Modell unter Verwendung der gehandelten Preise von Optionen berechnet. IV ist durch VIX-Optionen zu einer eigenen gehandelten Anlageklasse geworden.

Wenn Sie eine Option in einem sehr ruhigen Markt kaufen und der Preis des Basiswerts plötzlich steigt und fällt, wobei der Preis wieder dort endet, wo er vorher war, können Sie feststellen, dass der Optionspreis an Wert gewonnen hat. Dies ist von einer Überarbeitung seiner IV-Schätzung.

Um die Auswirkungen von Vega und auch der anderen Griechen auf die Preise von Optionen zusammenzufassen, beziehen Sie sich bitte auf die folgende Tabelle.

Put-Call-Parität und Anwendungsfälle

Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Portfolio mit dem kreativen Namen „A“, das nur einen europäischen Call auf AAPL mit einem Ausübungspreis von 250 USD, der am 21. Dezember 2018 ausläuft, und eine Aktie der zugrunde liegenden APPL-Aktie enthält:

Dann erstellen Sie ein weiteres Portfolio, „B“, das nur einen europäischen Call auf AAPL mit einem Ausübungspreis von 250 USD, der am 21. Dezember 2018 ausläuft, und einen T-Bill der US-Regierung, der am selben Tag mit einem Fälligkeitswert von 250 USD fällig wird, enthält.

Wie Sie sehen können, haben sowohl Portfolio A als auch Portfolio B bei Ablauf die gleiche Auszahlung. Dieses Prinzip wird als Put-Call-Parität bezeichnet. Eine andere Art, es auszudrücken, ist:

Diese Gleichung kann neu angeordnet werden, um andere Positionen nachzuahmen:

1. Halten Sie den Basiswert und einen Put, indem Sie sich Geld zu einem risikofreien Zinssatz leihen, und Sie haben einen synthetischen Call erstellt.
2. Shorten Sie den Basiswert, während Sie eine T-Bill und einen Call besitzen, und Sie haben einen synthetischen Put.
3. Wenn Sie Treasury-Zinsen (dh risikofreie Zinsen) verdienen möchten, während Sie eine zugrunde liegende Aktie halten, dann halten Sie den Put und verkaufen Sie den Call leer.
4. Sie können das Halten des Basiswerts auch nachahmen, indem Sie einen Call halten, einen Put leerverkaufen und einen T-Bill halten.

Dies funktioniert nur mit europäischem Verfall, Calls und Puts zum gleichen Ausübungspreis.

Nicht gehandelte Mitarbeiteroptionen

Die Mitarbeiteraktienoptionen für nicht börsennotierte Unternehmen unterscheiden sich in vielerlei Hinsicht von börsengehandelten Optionen:

1. Es gibt keine automatische Ausübung, wenn es im Geld ist.
2. Vesting-Anforderungen schränken die Liquidität ein.
3. Das Kontrahentenrisiko ist höher, da Sie über eine besicherte Börse direkt mit einem privaten Unternehmen handeln.
4. Auch die Portfoliokonzentration ist extremer, da weniger Diversifikationsmaßnahmen zur Verfügung stehen.

Darüber hinaus ist die Bewertung bekanntlich auch ein ganz anderes Ballspiel für private Unternehmen. Wie wir besprochen haben, sind Delta (Aktienkurs), Theta (Zeitwert), Rho (Zinssatz) und Vega (Volatilität) wichtige Determinanten der Optionsbewertung. Diese machen die Bewertung von Mitarbeiteraktienoptionen schwieriger, da Delta, Gamma und Volatilität besonders schwer zu bestimmen sind, da die Aktie selbst möglicherweise nicht gehandelt wird.

Für einen Mitarbeiter, der Aktienoptionen hält, sind folgende Schlüsselfaktoren zu beachten:

1. Die Volatilität hat einen entscheidenden Einfluss auf die Bewertung.
2. Der Zerfall von Optionen aufgrund des Zeitwerts ist nicht linearer Natur. Erinnern Sie sich an die Analogie mit dem Ball, der den Hügel hinunterrollt.
3. Optionsbewertung ist sowohl innerer Wert als auch Zeitwert. Nur weil kein innerer Wert vorhanden ist, heißt das nicht, dass die Option wertlos ist, die Zeit heilt alle Wunden und kann auch die Lücke schließen. Wenn Sie eine Optionszuteilung erhalten, ist diese normalerweise am Geld oder möglicherweise aus dem Geld, ohne inneren Wert. Das Verfolgen des inneren Werts, wenn die Aktie steigt, ist intuitiv, aber der Zeitwert, die Opportunitätskosten einer frühen Ausübung, ist nicht immer intuitiv oder berücksichtigt. Aufgrund dieser Opportunitätskosten sollten Sie eine Option nur aus wenigen triftigen Gründen vorzeitig ausüben, z.

Abschiedsgedanken und Glossar

Optionen sind nicht so kompliziert, wenn Sie ihre Komponenten verstehen. Betrachten Sie sie als flexiblere Bausteine, die es Ihnen ermöglichen, Finanzportfolios auf weniger kapitalintensive Weise aufzubauen und zu verwalten. Die Implikationen der Griechen zu verstehen, ist der erste Schritt zum Verständnis ihres Verhaltens.

Als kurzes Glossar sind im Folgenden einige Schlüsselbegriffe, die im gesamten Artikel erwähnt werden, kurz zusammengefasst:

• Calls und Puts – Call ist eine Option ohne Verpflichtung, den Basiswert zu einem vereinbarten Preis an oder vor einem bestimmten Datum zu kaufen. Put ist eine Option ohne Verpflichtung, den Basiswert zu einem vereinbarten Preis an oder vor einem bestimmten Datum zu verkaufen.
• Prämie – Der Preis, den ein Käufer an den Verkäufer (Schreiber) einer Option zahlt, wird als Prämie bezeichnet. Es ist die Bewertung einer Option zum Zeitpunkt des Handels.
• Ausübungs-/Ausübungs- und Spotpreise – Ausübungs- oder Ausübungspreis ist der festgelegte Preis für den Kauf/Verkauf eines Basiswerts unter Verwendung einer Option. Der Kassapreis ist der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts auf dem Kassamarkt.
• Auszahlung – Der Netto-Cashflow bei Ablauf einer Option. Einer der Cashflows ist der Ausübungspreis und der andere der Marktwert des Vermögenswerts.
• Europäische und amerikanische Ausübung – Europäische Optionen können nur zu einem bestimmten Zeitraum vor Ablauf ausgeübt werden. Amerikanische Optionen können jederzeit bei oder vor Ablauf ausgeübt werden.
• Zeitwert und innerer Wert – Der Zeitwert ist die jeweilige Prämie abzüglich des inneren Werts. Der innere Wert einer Option ist die Differenz zwischen dem Ausübungspreis und dem Kassapreis zu einem beliebigen Zeitpunkt.