Arrivare ai Greci: la guida completa ai prezzi delle opzioni

Le Option Grant sono diventate sempre più diffuse come forma di compensazione, vista la proliferazione di startup negli spazi della tecnologia e delle scienze della vita. Il loro prezzo, tuttavia, è ampiamente frainteso e molti dipendenti vedono le opzioni come un biglietto confuso verso la ricchezza futura.

Ci sono conseguenze nel non fissare il prezzo delle opzioni pari o vicino al valore equo di mercato (FMV) al momento dell'assegnazione, come l'IRC 409A negli Stati Uniti che impone un'aliquota penale sulle opzioni concesse al di sotto di FMV.

Alla luce di ciò, ho scritto questo articolo per coprire le basi del prezzo delle opzioni, per renderlo il più ampiamente utile possibile, non è vincolato a nessun codice fiscale o giurisdizione specifica. I principi discussi si applicano principalmente alle opzioni negoziate su azioni quotate, ma molte delle euristiche possono essere applicate a opzioni non negoziate o opzioni su azioni non negoziate.

Nozioni di base sulla valutazione delle opzioni

Valore delle Opzioni alla Scadenza

Le opzioni, che si presentano sotto forma di call e put, concedono un diritto, ma non un obbligo, all'acquirente. Di conseguenza, le opzioni plain vanilla possono valere qualcosa o niente alla scadenza; non possono valere un valore negativo per un acquirente poiché non ci sono deflussi di cassa netti dopo l'acquisto. Un venditore di opzioni plain vanilla si trova sul lato opposto del trade e può perdere solo quanto guadagna l'acquirente. È un gioco a somma zero quando questa è l'unica transazione.

Chiamate di modellazione

Un call su un titolo conferisce un diritto, ma non un obbligo, ad acquistare il sottostante al prezzo di esercizio. Se il prezzo spot è superiore allo strike, il titolare di una call lo eserciterà alla scadenza. Il payoff (non profitto) alla scadenza può essere modellato utilizzando la seguente formula e tracciato in un grafico.

Formula di Excel per una Call: = MAX (0, Share Price - Strike Price)

La modellazione mette

Allo stesso modo, una put che dà il diritto di vendere a prezzo di esercizio può essere modellata come di seguito.

Formula di Excel per una Put: = MAX(0, Strike Price - Share Price)

Moneyness di un'opzione e la sua rilevanza

In base al prezzo di esercizio e al prezzo delle azioni in qualsiasi momento, il prezzo dell'opzione può essere in, at o out of the money:

• Quando lo strike e i prezzi delle azioni sono gli stessi, l'opzione è at-the-money.
• Quando lo strike di una call è inferiore al prezzo delle azioni, è in-the-money (reverse per una put).
• Quando lo strike di una call è al di sopra del prezzo delle azioni (inverso per una put), è out-of-the-money.

Le opzioni out-of-the-money e at-the-money non hanno alcun valore intrinseco ma possono avere un valore temporale prima della scadenza. La distinzione di moneyness è rilevante poiché gli scambi di opzioni di trading hanno regole sull'esercizio automatico alla scadenza in base al fatto che un'opzione sia in-the-money o meno. Ad esempio: le regole del CBOE sono:

L'Options Clearing Corporation prevede l'esercizio automatico di alcune opzioni in-the-money alla scadenza, procedura denominata anche esercizio per eccezione. In genere, l'OCC eserciterà automaticamente qualsiasi equity call in scadenza o inserirà un conto cliente che è $ 0,01 o più in-the-money e un'opzione sull'indice che è $ 0,01 o più in-the-money. Tuttavia, la soglia di una specifica società di intermediazione per tale esercizio automatico può o non può essere la stessa di OCC.

Il prezzo dell'opzione dipenderà quindi dal fatto che il prezzo spot alla scadenza sia superiore o inferiore al prezzo di esercizio. Intuitivamente, il valore di un'opzione prima della scadenza sarà basato su una certa misura della probabilità che sia in-the-money con il flusso di cassa scontato a un tasso di interesse appropriato.

Modello di valutazione delle opzioni Black-Scholes-Merton (BSM).

Sebbene le opzioni siano state utilizzate sin dal periodo storico delle civiltà greca, romana e fenicia, Fisher Black ha originariamente inventato questo modello di prezzo delle opzioni nel 1973, ampiamente utilizzato ora, collegandolo alla derivazione della formula di trasferimento del calore in fisica. Le modifiche al modello di Scholes e Merton lo hanno evoluto nel modello Black-Scholes-Merton. La formula si presenta come segue:

• Chiamate: \(C_t = S_t e^{- \delta T} N \left (d_1 \right ) - K e^{ \left (- r T \right)} N \left (d_2 \right )\)
• Puts: \(p_t = K e^{ \left (- r T \right )} N(d_2) - S_t e^{- \delta T} N(- d_1)\)
• \(d_1 = \ln\left ( \frac{S_0}{K} \right ) + \left ( r + \frac{\sigma ^2}{2} \right )\left ( \frac{T}{\ sigma \sqrt{T}} \right )\)
• \(d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T}\)

Non lasciamoci sopraffare da queste formule elaborate e prima capiamo cosa sta effettivamente mostrando il modello. Per le call, il loro valore prima della scadenza dipenderà dal prezzo spot del titolo sottostante e dal suo valore scontato, quindi dal prezzo di esercizio e dal suo valore scontato e, infine, da qualche misura di probabilità. I componenti di questo si suddividono come segue:

• \(e^{ \left ( - r T \right )}\) e \(e^{- \delta T}\) sono metodi per applicare la capitalizzazione continua a un flusso di cassa in uscita e in entrata derivante dall'esercizio dell'opzione.
• K e S sono rispettivamente i prezzi di esercizio e spot.

Il resto del calcolo riguarda l'attualizzazione del flusso di cassa in uscita a un tasso di sconto composto continuamente, l'adeguamento per eventuali dividendi o flussi di cassa prima della scadenza e, per la probabilità, utilizzando una distribuzione normale.

Ipotesi di probabilità

Il modello BSM presuppone una distribuzione normale (distribuzione a campana o distribuzione gaussiana) di rendimenti composti in modo continuo. Il modello implica anche che all'aumentare del rapporto tra il prezzo corrente dell'azione e il prezzo di esercizio, la probabilità di esercitare l'opzione call aumenta, portando N(d) fattori più vicini a 1 e implicando che l'incertezza di non esercitare l'opzione diminuisce. Man mano che i fattori N(d) si avvicinano a 1, il risultato della formula si avvicina al valore del valore intrinseco dell'opzione call. L'altra implicazione è che quando la varianza (σ) aumenta, i fattori N(d) divergono e rendono l'opzione call più preziosa.

N(D2) è la probabilità che il prezzo dell'azione sia superiore al prezzo di esercizio alla scadenza. N(D1) è il termine per calcolare il valore atteso dell'afflusso di liquidità/azioni alla scadenza solo se il prezzo dell'azione è superiore al prezzo di esercizio. N(D1) è una probabilità condizionata.

Un guadagno per l'acquirente della chiamata si verifica a causa di due fattori che si verificano alla scadenza:

1. Lo spot deve essere al di sopra del prezzo di esercizio. (Direzione).
2. La differenza tra prezzi spot e strike alla scadenza (Quantum).

Immagina, una chiamata al prezzo di esercizio di $ 100. Se il prezzo spot del titolo è di $ 101 o $ 150, la prima condizione è soddisfatta. La seconda condizione riguarda se il guadagno è di $ 1 o $ 50. Il termine D1 combina questi due in una probabilità condizionata che se lo spot alla scadenza è al di sopra dello strike, quale sarà il suo valore atteso in relazione al prezzo spot corrente.

Configurazione del modello BSM in Excel

Il modello seguente è quello che uso in Excel per i calcoli BSM (le celle ombreggiate sono calcoli collegati ad altre celle):

La formula per questo è la seguente:

Cella B2 = Data di valutazione Cella B3 = Prezzo azione/spot Cella B4 = Prezzo di esercizio Cella B5 = Volatilità implicita Cella B6 = Tasso annualizzato privo di rischio Cella B7 = Tempo di scadenza in anni (calcolato come (B10-B2)/365) Cella B8 = Rendimento del dividendo (Calcolato come B11/B3) Cella B9 = N. di opzioni (impostarlo a 1, per calcolare il valore non basato su un contratto) Cella B10 = Data di scadenza Cella B11 = Dividendo annuo in termini di valuta Cella B13 = D1 =(LN((B3\EXP(-B8\B7))/B4)+((B6+((B5)^2)/2)\B7)) / ((B5)\SQRT(B7)) Cella B14 = D2 = B13-B5SQRT(B7) Cella B15 = N(D1) = DISTRIB.NORM.ST(B13) Cella B16 = N(D2) = DISTRIB.NORM.ST(B14) Cella B17 = Chiamata = (B3\EXP(-B8\B7))\ B15-B4\EXP(-B6\B7)\B16 Cella B18 = Put ​​= (B17-(B3\EXP(-B8\B7))+B4\EXP(-B6\B7)

Flussi di cassa del sottostante

Una chiamata consente all'acquirente di godere del rialzo di un titolo senza detenerlo realmente per un periodo fino alla scadenza. Intuitivamente, se il rialzo viene pagato durante il periodo di detenzione, le chiamate dovrebbero essere meno redditizie poiché il diritto a tale rialzo non è derivato dal titolare dell'opzione. Naturalmente, in caso di put vale il contrario. Questa intuizione può essere vista nei grafici seguenti per un'azione che paga dividendi con 0%, 2% e 5% di dividendo. Il modello presuppone che anche i dividendi vengano pagati a un tasso composto continuamente.

Ora che i dividendi speciali sono in discussione a causa delle modifiche al codice fiscale statunitense, vale la pena ricordare che vedrai un fattore di adeguamento alle opzioni negoziate per i dividendi una tantum al di sopra di una certa percentuale del prezzo delle azioni. I dividendi speciali una tantum hanno un grande impatto sul prezzo delle opzioni. Nel 2004, quando MSFT ha annunciato un dividendo speciale aggiuntivo una tantum di $ 3 per azione contro il suo normale $ 0,08 trimestrale, le opzioni sono state adeguate.

Sensibilità a Fattori o Opzioni Greche

Options Industry Council (OIC) ha un calcolatore gratuito che mostrerà i valori delle opzioni scambiate e le greche. Ho analizzato i valori per AAPL dal 1 ottobre 2018 dal sito Web dell'Option Industry Council.

Delta e Gamma o Prezzo Spot

Il grafico seguente si riferisce alle put AAPL con scadenza 12 ottobre 2018 il 01 ottobre 2018 con la linea verticale che indica l'ultimo prezzo.

Quanto segue è per le chiamate AAPL che scadono il 12 ottobre 2018 il 01 ottobre 2018.

L'ultimo prezzo scambiato di call e put è chiaramente correlato al prezzo di esercizio e forma questo grafico simile a una mazza da hockey. Il motivo per cui i punti non si allineano a una linea è perché alcune delle opzioni non sono state negoziate il 1 ottobre e l'ultimo prezzo negoziato di queste opzioni è più vecchio, specialmente per le opzioni deep-in-the-money.

Cosa succede quando il prezzo spot cambia per AAPL? Il prezzo di AAPL cambia di nanosecondi alla borsa. Intuitivamente, e in base al modello BSM, anche il prezzo dell'opzione dovrebbe cambiare. Questo è misurato da Delta, che è l'approssimazione di come cambia il valore di un'opzione per una variazione del prezzo spot. È un valore approssimativo di quanto si muove il valore dell'opzione per una variazione di $ 1 del sottostante.

Il delta viene utilizzato come rapporto di copertura. Se stai cercando di coprire una posizione sottostante con un'opzione che ha un delta di 0,5, avrai bisogno di due opzioni (2 x 0,5) per coprire completamente la posizione (e renderla neutrale rispetto al delta). Delta è un'approssimazione, però. Funziona bene per un piccolo movimento di prezzo e per brevi periodi di tempo. Vediamo la relazione tra la chiamata alle variazioni del prezzo delle azioni al di sotto così come la variazione del delta nella stessa gamma di prezzi delle azioni. I prezzi delle chiamate non si muovono uniformemente come una linea e, di conseguenza, il delta calcolato si muove come una curva. Questo diventa più evidente più vicino al prezzo di esercizio.

La variazione del delta per una modifica è di $ 1. Il valore del sottostante è chiamato Gamma. Gamma è sempre un valore positivo e Delta è positivo per una call e negativo per una put (per l'acquirente). Significa anche che per una chiamata, la variazione percentuale più alta si verificherà quando si passa dall'essere out-of-the-money a in-the-money, o viceversa. Gamma o il tasso di variazione del delta si avvicina a zero quando il prezzo di esercizio si allontana dal prezzo spot (per posizioni di opzioni deep out-of-the-money o in-the-money).

Theta, o valore temporale

Il prezzo di un'opzione dipende da quanto tempo deve arrivare alla scadenza. Intuitivamente, maggiore è il tempo di scadenza, maggiore è la probabilità che finisca in the money. Quindi, le opzioni con una data più lunga tendono ad avere valori più alti, indipendentemente dal fatto che siano put o call. Il valore del tempo successivamente decade a 0 quando si avvicina alla scadenza.

Il tasso di decadimento non è una linea retta. È più facile pensarci usando l'analogia di una palla che rotola giù da un pendio. La velocità aumenta man mano che la palla rotola più in basso lungo il pendio: la più lenta in alto e la più veloce in basso (alla scadenza). Il tasso di decadimento è rappresentato da Theta ed è positivo per call e put.

Rho o tassi di interesse

I tassi di interesse hanno un impatto sul valore dell'opzione attraverso l'utilizzo come tasso di sconto. Intuitivamente, le chiamate implicano ottenere il vantaggio di detenere le azioni sottostanti senza spendere il prezzo intero. Poiché un acquirente call non ha bisogno di acquistare il prezzo intero del titolo, la differenza tra il prezzo pieno del titolo e l'opzione call potrebbe teoricamente essere investita e, pertanto, l'opzione call dovrebbe avere un valore più alto per tassi di sconto più elevati. La sensibilità ai tassi di interesse è misurata da Rho, con tassi di interesse più elevati che aumentano il valore delle call e viceversa per le put.

Vega o volatilità

Vega, sebbene non effettivamente nell'alfabeto greco, è usato per denotare la sensibilità del valore dell'opzione alla volatilità. La volatilità si riferisce alla possibile entità dei movimenti di prezzo verso l'alto o verso il basso. Maggiore è la volatilità di un prezzo spot, maggiore è la probabilità che il prezzo raggiunga lo strike. Quindi, maggiore è la volatilità, maggiore è il prezzo delle opzioni.

La volatilità viene solitamente riempita utilizzando la volatilità implicita (I"). La volatilità implicita è calcolata con il Modello BSM, utilizzando i prezzi negoziati delle opzioni. IV è diventata di per sé una classe di attività negoziata tramite le opzioni VIX.

Se si acquista un'opzione in un mercato molto calmo e si verifica un improvviso aumento e diminuzione del prezzo del sottostante, con il prezzo che torna al punto in cui era prima, è possibile che il prezzo dell'opzione sia aumentato di valore. Questo è da una revisione della sua stima IV.

Per riassumere l'effetto di Vega, e in effetti degli altri greci, sui prezzi delle opzioni si rimanda alla tabella seguente.

Parità put-call e casi d'uso

Immagina di avere un portafoglio, chiamato in modo creativo "A", che ha solo una chiamata europea su AAPL allo strike $ 250 con scadenza il 21 dicembre 2018 e una quota del titolo APPL sottostante:

Quindi crei un altro portafoglio, "B", che ha solo un call europeo su AAPL allo strike $ 250 con scadenza il 21 dicembre 2018 e un Buono del Tesoro del governo statunitense con scadenza lo stesso giorno per un valore di scadenza di $ 250.

Come puoi vedere, sia il portafoglio A che il portafoglio B hanno lo stesso payoff alla scadenza. Questo principio è chiamato parità put-call. Un altro modo per affermarlo è:

Questa equazione può essere riorganizzata per imitare altre posizioni:

1. Tieni il sottostante e una put, prendendo in prestito fondi a tasso privo di rischio e hai creato una chiamata sintetica .
2. Short il sottostante mentre possiedi un Buono del Tesoro e un call e hai una put sintetica.
3. Se vuoi guadagnare tassi del Tesoro (cioè, senza rischi ) mentre detieni un'azione sottostante, tieni la put e short la call.
4. Puoi anche simulare la detenzione del sottostante tenendo una call, shorting una put e detenendo un T-bill.

Funzionerà solo con scadenza, call e put in stile europeo allo stesso prezzo di esercizio.

Opzioni non negoziate dei dipendenti

Le opzioni su azioni dei dipendenti per le società non quotate sono diverse dalle opzioni negoziate in borsa in modi diversi:

1. Non c'è esercizio automatico quando è in-the-money.
2. I requisiti di maturazione limitano la liquidità.
3. Il rischio di controparte è maggiore, poiché si tratta direttamente con una società privata, rispetto a uno scambio garantito.
4. Anche la concentrazione del portafoglio è più estrema, poiché sono disponibili meno misure di diversificazione.

Oltre a questi, come sappiamo, la valutazione è anche un gioco di palla completamente diverso per le società private. Come abbiamo discusso, delta (prezzo delle azioni), theta (valore temporale), rho (tasso di interesse) e vega (volatilità) sono importanti determinanti della valutazione delle opzioni. Ciò rende più difficile la valutazione delle stock option dei dipendenti, poiché Delta, Gamma e Volatility sono particolarmente difficili da determinare, poiché il titolo stesso potrebbe non essere negoziato.

Per un dipendente che detiene stock option, i fattori chiave da tenere a mente sono che:

1. La volatilità ha un impatto chiave sulla valutazione.
2. Il decadimento dell'opzione dovuto al valore del tempo non è di natura lineare. Ricorda l'analogia della palla che rotola giù per la collina.
3. La valutazione dell'opzione è sia valore intrinseco che valore temporale. Solo perché non esiste un valore intrinseco non significa che l'opzione sia priva di valore, il tempo guarisce tutte le ferite e può anche colmare il divario. Quando ricevi un'opzione di concessione, di solito è at-the-money o può essere out-of-the-money, senza valore intrinseco. Tenere traccia del valore intrinseco all'aumento delle azioni è intuitivo, ma il valore temporale, il costo opportunità di un esercizio iniziale, non è sempre intuitivo o contabilizzato. A causa di questo costo opportunità, dovresti esercitare un'opzione in anticipo solo per alcuni validi motivi come la necessità di un flusso di cassa, la diversificazione del portafoglio o le prospettive delle azioni.

Pensieri di separazione e glossario

Le opzioni non sono così complicate quando capisci i loro componenti. Considerali come elementi costitutivi più flessibili per consentirti di costruire e gestire portafogli finanziari in un modo meno ad alta intensità di capitale. Comprendere le implicazioni dei greci è il primo passo verso la comprensione del loro comportamento.

Come breve glossario, di seguito sono riportati alcuni termini chiave citati in tutto l'articolo, riassunti in modo conciso:

• Call e put – Call è un'opzione senza obbligo di acquistare l'attività sottostante a un prezzo concordato entro una data specificata. Put è un'opzione senza obbligo di vendere l'attività sottostante a un prezzo concordato entro una data specificata.
• Premio – Il prezzo pagato da un acquirente al venditore (scrittore) di un'opzione è chiamato premio. È la valutazione di un'opzione al momento dell'operazione.
• Prezzi di esercizio/strike e spot – Il prezzo di esercizio o strike è il prezzo specificato per l'acquisto/vendita di un'attività sottostante utilizzando un'opzione. Il prezzo spot è il prezzo dell'attività sottostante nel mercato spot.
• Payoff – Il flusso di cassa netto alla scadenza di un'opzione. Uno dei flussi di cassa è il prezzo di esercizio e l'altro è il valore di mercato dell'attività.
• Esercizio europeo e americano: l'opzione stile europeo può essere esercitata solo in un determinato periodo prima della scadenza. L'opzione americana può essere esercitata in qualsiasi momento alla scadenza o prima.
• Valore temporale e valore intrinseco: il valore temporale è il premio alla volta meno il valore intrinseco. Il valore intrinseco di un'opzione è la differenza tra il prezzo di esercizio e il prezzo spot in qualsiasi momento.