预报员的工具箱：如何执行蒙特卡洛模拟

执行摘要

介绍

首先，唯一确定的是没有确定性。 其次，作为结果的每一个决定都是权衡概率的问题。 第三，尽管存在不确定性，但我们必须做出决定并采取行动。 最后，我们不仅要根据结果来判断决策，还要根据这些决策是如何做出的。 ——罗伯特·E·鲁宾

预测中最重要和最具挑战性的方面之一是处理检查未来所固有的不确定性。 自 2003 年以来，我已经为 LBO、初创公司筹款、预算、并购和企业战略计划构建并填充了数百个财务和运营模型，我见证了这样做的各种方法。 每个首席执行官、首席财务官、董事会成员、投资者或投资委员会成员都会在财务预测和不确定性方面带来自己的经验和方法——受不同激励措施的影响。 通常，将实际结果与预测进行比较可以了解预测和实际结果之间的偏差有多大，因此需要理解和明确识别不确定性。

我最初开始使用情景和敏感性分析来模拟不确定性，并且仍然认为它们是非常有用的工具。 自从 2010 年将蒙特卡罗模拟添加到我的工具箱中以来，我发现它们是一种非常有效的工具，可以用来改进和改进您对风险和概率的看法。 从构建 DCF 估值、评估并购中的看涨期权、与贷方讨论风险到寻求融资和指导初创企业的风险投资资金分配，我都使用了这种方法。 这种方法一直受到董事会成员、投资者和高级管理团队的好评。 在本文中，我通过构建 DCF 估值模型提供了在实践中使用蒙特卡罗模拟的分步教程。

每个决定都是权衡概率的问题

在开始案例研究之前，让我们回顾一下处理不确定性的几种不同方法。 预期值的概念——所有可能情景中现金流的概率加权平均值——是财务 101。但财务专业人士和更广泛的决策者在将这种简单的见解转化为实践时采用了截然不同的方法。 该方法的范围可以从一方面根本不承认或根本不讨论不确定性，到另一方面复杂的模型和软件。 在某些情况下，人们最终会花更多时间讨论概率而不是计算现金流。

除了简单地不解决它之外，让我们研究一些在中长期预测中处理不确定性的方法。 您应该熟悉其中的许多内容。

创建一个场景。 这种方法是预算、许多初创公司甚至投资决策的默认方法。 除了不包含有关不确定程度的任何信息或承认结果可能与预测不同之外，它可能是模棱两可的，并且根据利益相关者的不同解释。 有些人可能会将其解释为一个延伸目标，其中实际结果更有可能低于而不是超过。 一些人将其视为具有更多优势而不是劣势的基准性能。 其他人可能会将其视为上下概率为 50/50 的“基本案例”。 在某些方法中，尤其是对于初创公司来说，这是非常雄心勃勃的，到目前为止，失败或不足的可能性更大，但是为了解释风险，使用了更高的贴现率。	这种方法下的长期现金流预测的输入都是点估计，在这个例子中产生了 5000 万欧元的点估计结果，隐含概率为 100%。
创建多个场景。 这种方法认识到现实不太可能按照一个给定的计划展开。 以最简单的形式，敏感性分析，这可以模拟例如销售增长高于和低于基本情况 10% 的影响，使用固定、半可变和可变成本的给定组合来估计底线影响。 在更复杂的形式中，您可以从完全不同的角度考虑每种情况的未来，并分析不同的技术发展、竞争动态和宏观趋势对公司业绩的影响。 通常情况下，不幸的是，这些场景的选择非常随意，有时还考虑到了期望的最终结果。	三种不同的情景产生三种不同的结果，在此假设可能性相同。 不考虑高和低情景之外的结果概率。
创建具有明确识别概率的基本、上行和下行案例。 也就是说，熊市和牛市的情况包含，例如，每条尾巴都有 25% 的概率，而公允价值估计代表中点。 从风险管理的角度来看，这样做的一个有用的好处是对尾部风险的明确分析，即上行和下行情景之外的事件。	晨星估值手册插图
使用概率分布和蒙特卡罗模拟。 使用概率分布允许您对预测中的所有可能结果进行建模和可视化。 这不仅可以在总体层面上进行，还可以针对详细的个人输入、假设和驱动因素进行。 然后使用蒙特卡罗方法在总体水平上计算得到的概率分布，从而分析几个不确定变量如何影响整体结果的不确定性。 或许最重要的是，该方法迫使参与分析和决策的每个人明确认识到预测中固有的不确定性，并以概率进行思考。 正如其他方法一样，这也有其缺点，包括使用更复杂的模型可能带来的错误精度和过度自信的风险，以及选择合适的概率分布和估计它们的参数所需的额外工作，否则只能进行点估计用过的。

什么是蒙特卡罗模拟？

蒙特卡洛模拟模拟财务预测和估计中不同结果的概率。 他们的名字来自摩纳哥的蒙特卡洛地区，这里以高端赌场而闻名于世； 随机结果是这项技术的核心，就像轮盘赌和老虎机一样。 蒙特卡罗模拟在广泛的领域非常有用，包括工程、项目管理、石油和天然气勘探以及其他资本密集型行业、研发和保险； 在这里，我专注于金融和商业领域的应用。

概率分布

在模拟中，不确定性输入使用概率分布来描述，由均值和标准偏差等参数描述。 财务预测中的示例输入可以是任何东西，从收入和利润到更精细的东西，例如商品价格、扩张的资本支出或外汇汇率。

当一个或多个输入被描述为概率分布时，输出也成为概率分布。 计算机从每个输入分布中随机抽取一个数字并计算并保存结果。 这会重复数百、数千或数万次，每次都称为迭代。 综合起来，这些迭代近似于最终结果的概率分布。

输入类型

输入分布可以是连续的，其中随机生成的值可以取分布下的任何值（例如正态分布），也可以是离散的，其中概率附加到两个或多个不同的场景。

模拟还可以包含不同类型的分布的混合。 举个例子，一个药物研发项目有几个阶段，每个阶段都有不同的成功或失败概率。 这可以与描述每个阶段所需的不确定投资金额和潜在收入的连续分布相结合，如果项目产生的产品进入市场。 下图显示了这种模拟的输出：损失 500 万欧元到 5000 万欧元（现值）的全部投资的概率约为 65%，净收益的概率约为 35%。 100 到 250 欧元——如果 MIRR 或 NPV 等关键输出指标显示为点估计而不是概率分布，则会丢失信息。

蒙特卡洛模拟实践

蒙特卡洛模拟没有得到更广泛使用的一个原因是典型的财务日常工具不能很好地支持它们。 Excel 和 Google 表格在每个单元格中保存一个数字或公式结果，虽然它们可以定义概率分布并生成随机数，但从头开始构建具有蒙特卡洛功能的财务模型很麻烦。 而且，虽然许多金融机构和投资公司使用蒙特卡罗模拟来评估衍生品、分析投资组合等，但他们的工具通常是内部开发的、专有的或过于昂贵——这使得个人金融专业人士无法使用它们。

因此，我想提请注意 Excel 插件，例如 Palisade 的 @RISK、Vose 的 ModelRisk 和 RiskAMP，它们极大地简化了蒙特卡罗模拟的工作，并允许您将它们集成到现有模型中。 在以下演练中，我将使用@RISK。

案例研究：使用蒙特卡洛模拟进行现金流预测

让我们回顾一个简单的例子来说明蒙特卡洛模拟的关键概念：五年现金流预测。 在本演练中，我建立并填充了一个用于估值的基本现金流模型，逐渐用概率分布替换输入，最后运行模拟并分析结果。

步骤 1. 选择或构建模型

首先，我使用一个简单的模型，重点突出使用概率分布的关键特征。 请注意，首先，此模型与任何其他 Excel 模型没有什么不同； 我上面提到的插件适用于您现有的模型和电子表格。 下面的模型是一个简单的现成版本，其中填充了形成一个场景的假设。

步骤 2. 创建第一个概率分布

首先，我们需要收集做出假设所需的信息，然后我们需要选择正确的概率分布来插入。 重要的是要注意，无论您采用哪种方法来处理不确定性，关键输入/假设的来源都是相同的。 商业尽职调查是在预计市场发展、行业趋势和竞争动态的背景下对公司业务计划的全面审查，通常包括从历史数据中推断、纳入专家意见、进行市场研究和采访市场参与者。 根据我的经验，专家和市场参与者很乐意讨论不同的情景、风险和结果范围。 然而，大多数都没有明确描述概率分布。

现在让我们从第一个预测年（2018 年）的估计销售增长开始，逐个用概率分布替换我们的关键输入值。 可以通过 15 天的免费试用期评估用于 Excel 的 @RISK 插件，因此您可以从 Palisade 网站下载并单击几下进行安装。 启用@RISK 插件后，选择您想要分布的单元格，然后在菜单中选择“定义分布”。

然后，您从出现的分布调色板中选择一个。 @RISK 软件提供了 70 多种不同的发行版可供选择，因此一开始选择其中一种可能会让人不知所措。 以下是我最常使用的少数指南：

普通的。 由平均值和标准差定义。 由于其简单性，这是一个很好的起点，并且适合作为晨星方法的扩展，您可以在其中定义一个分布，该分布可能涵盖给定输入的可能已经定义的场景或范围，确保案例围绕基本案例对称，并且每条尾巴的概率看起来是合理的（比如晨星例子中的 25%）。
约翰逊时刻。 选择此选项可让您定义偏态分布和尾部更粗或更细的分布（技术上添加偏度和峰度参数）。 在幕后，这使用一种算法来选择反映四个所选参数的四个分布之一，但这对用户是不可见的——我们只需要关注参数。 有时，在为输入收集信息的过程中，很明显正态分布是不合适的。 例如，对于一家处于行业周期低谷或高峰的公司，未来五年（例如五年）业绩好坏的概率是不对称的。 越接近峰值，越有可能出现低迷而不是持续强劲的表现。 这是倾斜分布可能有用的地方。 在许多金融领域，关于“肥尾”的概念已经写了很多。 似乎正态分布通常不能很好地描述实际结果，本应非常罕见的事件比正态分布所显示的更频繁地发生。
离散的。 概率被赋予两个或多个特定值。 回到开头的分阶段研发项目示例，每个阶段的成功概率被建模为二元离散分布，结果为 1 表示成功，0 表示失败。
分布拟合。 当您拥有大量历史数据点时，分布拟合功能很有用。 例如，这并不意味着三年或四年的历史销售增长，而是时间序列数据，例如商品价格、货币汇率或其他市场价格，其中历史可以提供有关未来趋势和不确定性程度的有用信息。
将几种不同的分布组合成一个。 为了减轻个人偏见的潜在影响，将不同来源的输入纳入假设和/或审查和讨论结果通常是一个好主意。 有不同的方法： 准备草稿或初稿，然后与专家、更广泛的管理团队或其他决策者一起审查。 在会议中共同开发最重要的分布。 这可以带来良好的讨论和更好的结果，但与往常一样，小组的组成至关重要； 代表不同的观点/职能并营造一种充满活力但相互尊重的辩论氛围当然是有帮助的。 为每个关键来源开发一个分布，并将它们组合起来，根据你对每个来源的信任程度进行加权。 如果从几位不同的专家那里获得意见，最好让他们每个人都提供自己的观点，独立于其他人，然后合并为一个。 @RISK 函数 MakeRiskInput 为我们完成了这项工作。	重量：20% + 重量：20% + 重量：60% =
手绘。 为了在讨论中快速说明一个分布，或者如果您在起草一个不容易从现有调色板创建的模型时需要一个分布，手绘功能很有用。 顾名思义，这允许您使用简单的绘画工具绘制分布。

现在我们看到分布的可视化，左侧有一些参数。 平均值和标准差符号应该看起来很熟悉。 在正态分布的情况下，平均值将是我们之前在单元格中输入的单个值。 这里以 2018 年的销售概率分布为例，其中 10% 代表平均值。 虽然您的典型模型要么只关注 10% 的数字，要么有可能分别增长 15% 和 5% 的“牛市”和“熊市”情景，现在这提供了有关所有预期潜在结果的信息。

蒙特卡罗模拟的一个好处是低概率尾部结果可以引发思考和讨论。 仅显示上行和下行情景可能会引入决策者将其解释为外部界限的风险，从而忽略任何外部情景。 这可能导致有缺陷的决策制定，并暴露于超出组织或个人对风险的承受能力的结果。 如果所讨论的情况会产生灾难性后果，即使是 5% 或 1% 的概率也可能是不可接受的。

步骤 3. 将收入预测从一年扩大到几年

使用蒙特卡罗建模，请注意不确定性和概率分布如何叠加，例如随着时间的推移。 让我们回顾一个例子。 由于每年的销售额取决于前一年的增长，我们可以可视化并看到我们对 2022 年销售额的估计比 2018 年的估计更不确定（使用每年的标准差和 95% 置信区间显示）。 为简单起见，下面的示例指定了 2018 年一年的增长率，然后将相同的增长率应用于接下来的每一年，直到 2022 年。另一种方法是有五个独立的分布，每年一个。

第 4 步：继续使用损益表——将利润率表示为概率分布

我们现在估计 2018 年 EBIT 利润率的概率分布（如下突出显示），类似于我们为销售增长所做的那样。

在这里，我们可以使用相关函数来模拟相对市场份额和盈利能力之间存在明显相关性的情况，反映了规模经济。 可以对具有较高销售增长相对于市场和相应较高的相对市场份额的情景进行建模，以与较高的息税前利润率呈正相关。 在公司的财富与其他一些外部因素（例如油价或外汇汇率）密切相关的行业中，定义该因素的分布并模拟与销售和盈利能力的相关性是有意义的。

根据可用时间、交易规模和其他因素，建立运营模型并明确输入最不确定的变量通常是有意义的。 其中包括：产品数量和价格、商品价格、外汇汇率、主要间接费用项目、每月活跃用户和每单位平均收入 (ARPU)。 还可以对数量变量以外的变量进行建模，例如开发时间、上市时间或市场采用率。

步骤 5. 资产负债表和现金流量表

使用概述的方法，我们现在可以继续查看资产负债表和现金流量表，填充假设并在有意义的地方使用概率分布。

关于资本支出的说明：这可以以绝对金额或销售额的百分比来建模，可能与更大的逐步投资相结合； 例如，制造设施可能有明确的产能限制和大量的扩张投资或当销售额超过阈值时需要新设施。 由于说 1,000 或 10,000 次迭代中的每一次都将完全重新计算模型，因此可以使用一个简单的公式来触发投资成本（如果/当达到一定数量）。

第 6 步：完成模型

与标准财务模型相比，建立蒙特卡洛模型多了一个步骤：我们要评估结果的单元需要专门指定为输出单元。 该软件将保存这些单元的每次模拟迭代的结果，供我们在模拟完成后进行评估。 每次迭代都会重新计算整个模型中的所有单元格，但在其他未指定为输入或输出单元格的单元格中的迭代结果会丢失，并且在模拟完成后无法进行分析。 正如您在下面的屏幕截图中所见，我们将 MIRR 结果单元格指定为输出单元格。

完成模型构建后，只需按下“开始模拟”并等待几秒钟，即可首次运行模拟。

步骤 7. 解释结果

以概率表示的输出。 虽然我们的模型之前为修改后的 IRR 提供了一个单一值，但我们现在可以清楚地看到围绕该值存在许多具有不同概率的潜在结果。 这使我们能够改写问题，例如“我们会通过这项投资达到我们的最低回报率吗？” “我们有多大可能达到或超过我们的障碍率？” 您可以使用例如置信区间来探索哪些结果最有可能。 在将结果传达给不同的利益相关者时，可视化很有帮助，您可以覆盖其他交易的输出，以直观地比较当前交易与其他交易的吸引力和（不确定性）（见下文）。

了解最终结果的不确定程度。 如果我们生成一个现金流随时间变化的图表，类似于我们最初为销售所做的图表，很明显，即使在销售和我们建模为概率分布的其他输入的不确定性相对较小的情况下，自由现金流的可变性也会变得显着，结果从大约 50 万欧元到 500 万欧元不等——是 10 倍的系数——甚至与平均值只有一个标准差。 这是将不确定的假设叠加在一起的结果，这种影响在多年来“垂直”和“水平”向下贯穿财务报表。 可视化提供有关这两种不确定性的信息。

敏感性分析：引入龙卷风图。 另一个重要领域是了解哪些输入对您的最终结果影响最大。 一个经典的例子是，相对于现金流预测，贴现率或终值假设的重要性通常被赋予太少的权重。 一种常见的处理方法是使用矩阵，在每个轴上放置一个键输入，然后计算每个单元格中的结果（见下文）。 这在决策取决于一个或几个关键假设的情况下尤其有用——在这些“你必须相信的”情况下，（例如）投资委员会或高级管理团队的决策者可能对这些关键假设，以及上述矩阵等矩阵允许他们每个人找到与他们的观点相对应的结果值，并可以据此决定、投票或提供建议。

使用蒙特卡洛模拟进行增强。 使用蒙特卡罗模拟时，该方法可以用另一种方法进行补充：龙卷风图。 此可视化在垂直轴上列出了不同的不确定输入和假设，然后显示每个输入和假设对最终结果的影响有多大。

这有多种用途，其中之一是它允许那些准备分析的人确保他们花费时间和精力来理解和验证与每个假设对最终结果的重要性大致对应的假设。 它还可以通过强调哪些假设确实是关键，来指导敏感性分析矩阵的创建。

Another potential use case is to allocate engineering hours, funds, or other scarce resources to validating and narrowing the probability distributions of the most important assumptions. An example of this in practice was a VC-backed cleantech startup where I used this method to support decision-making both to allocate resources and to validate the commercial viability of its technology and business model, making sure you solve the most important problems, and gather the most important information first. Update the model, move the mean values, and adjust the probability distributions, and continually reassess if you are focused on solving the right problems.

A Few Words of Caution: Different Types of Uncertainty

Probability is not a mere computation of odds on the dice or more complicated variants; it is the acceptance of the lack of certainty in our knowledge and the development of methods for dealing with our ignorance. – Nassim Nicholas Taleb

It is useful to distinguish between risk , defined as situations with future outcomes that are unknown but where we can calculate their probabilities (think roulette), and uncertainty , where we cannot estimate the probabilities of events with any degree of certainty.

In business and finance, most situations facing us in practice will lie somewhere in between those two. The closer we are to the risk end of that spectrum, the more confident we can be that when using probability distributions to model possible future outcomes, as we do in Monte Carlo simulations, those will accurately capture the situation facing us.

The closer we get to the uncertainty end of the spectrum, the more challenging or even dangerous it can be to use Monte Carlo simulations (or any quantitative approach). The concept of “fat tails,” where a probability distribution may be useful but the one used has the wrong parameters, has received lots of attention in finance, and there are situations where even the near-term future is so uncertain that any attempt to capture it in a probability distribution at all will be more misleading than helpful.

In addition to keeping the above in mind, is also important to 1) be mindful of the shortcomings of your models, 2) be vigilant against overconfidence, which can be amplified by more sophisticated tools, and 3) bear in mind the risk of significant events that may lie outside what has been seen before or the consensus view.

At the End of the Day, It's about the Mindset, Not the Technical Solution

There are two concepts here and it is important to separate them: one is the recognition of uncertainty and the mindset of thinking in probabilities, and the other is one practical tool to support that thinking and have constructive conversations about it: Monte Carlo simulations in spreadsheets.

I don't use Monte Carlo simulations in all models I build or work on today, or even a majority. But the work I have done with it influences how I think about forecasting and modeling. Just doing this type of exercise a few times, or even once, can influence how you view and make decisions. As with any model we use, this method remains a gross simplification of a complex world, and forecasters in economics, business, and finance have a disappointing track record when evaluated objectively.

Our models are far from perfect but, over years and decades, and millions or billions of dollars/euros invested or otherwise allocated, even a small improvement in your decision-making mindset and processes can add significant value.

I spend 98% of my time on 2% probabilities – Lloyd Blankfein