Teorema Binomial: Desvio Padrão, Termos e Propriedades Relacionadas

O teorema binomial é uma das equações mais utilizadas no campo da matemática e também possui um grande número de aplicações em vários outros campos. Algumas das aplicações do mundo real do teorema binomial incluem:

• A distribuição de endereços IP para os computadores.
• Previsão de vários fatores relacionados à economia da nação.
• Previsão do tempo.
• Arquitetura.

O teorema binomial, também conhecido como expansão binomial, é usado em estatística, álgebra, probabilidade e vários outros campos da matemática e da física. O teorema binomial é denotado pela fórmula abaixo:

onde, n N e x,y R

Fonte

O que é um experimento binomial?

A fórmula do teorema binomial é geralmente usada para calcular a probabilidade do resultado de um experimento binomial. Um experimento binomial é um evento que pode ter apenas dois resultados. Por exemplo, prever chuva em um determinado dia; o resultado só pode ser um dos dois casos – ou vai chover naquele dia, ou não vai chover naquele dia.

Como existem apenas dois resultados fixos para uma situação, ela é chamada de experimento binomial. Você pode encontrar muitos exemplos de experimentos binomiais em sua vida diária. Jogar uma moeda, ganhar uma corrida, etc. são experimentos binomiais.

Leia: Distribuição binomial em Python com exemplos do mundo real

O que é uma distribuição binomial?

A distribuição binomial pode ser denominada para medir a probabilidade de algo acontecer ou não acontecer em um experimento binomial. Geralmente é representado como:

p: A probabilidade de um determinado resultado acontecer

n: O número de vezes que realizamos o experimento

Aqui estão alguns exemplos para ajudá-lo a entender,

• Se jogarmos os dados 10 vezes, então n = 10 ep para 1,2,3,4,5 e 6 será ⅙.
• Se lançarmos uma moeda 15 vezes, então n = 15 e p para cara e coroa será 1/2.

Existem muitos termos relacionados à distribuição binomial, que podem ajudá-lo a encontrar informações valiosas sobre qualquer problema. Vejamos os dois termos principais, desvio padrão e média da distribuição binomial.

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Desvio padrão de uma distribuição binomial

O desvio padrão de uma distribuição binomial é determinado pela fórmula abaixo:

= npq

Onde,

n = Número de tentativas

p = A probabilidade de tentativa bem sucedida

q = 1-p = A probabilidade de uma tentativa fracassada

Média de uma distribuição binomial

A média de uma distribuição binomial é determinada por,

= n*p

Onde,

n = Número de tentativas

p = A probabilidade de tentativa bem sucedida

Introdução ao teorema binomial

O teorema binomial pode ser visto como um método para expandir uma expressão de potência finita. Há algumas coisas que você precisa ter em mente sobre uma expansão binomial:

• Para uma equação (x+y)n o número de termos nesta expansão é n+1.
• Na expansão binomial, a soma dos expoentes de ambos os termos é n.
• C0n, C1n, C2n, …. é chamado de coeficientes binomiais.
• Os coeficientes binomiais que estão a uma distância igual do início e do fim são sempre iguais.

Fonte

Coeficientes de todos os termos podem ser encontrados olhando para o Triângulo de Pascal.

Fonte

Termos relacionados ao teorema binomial

Vejamos agora os termos mais usados ​​com o teorema binomial .

Termo geral

O termo geral no teorema binomial pode ser referido como uma equação genérica para qualquer termo dado, que corresponderá a esse termo específico se inserirmos os valores necessários nessa equação. Geralmente é representado como Tr+1.

Tr+1=Crn. xn-r. ano

Meio termo

O termo médio do teorema binomial pode ser referido como o valor do termo médio na expansão do teorema binomial.

Se o número de termos na expansão for par, o (n/2 + 1)º termo é o termo do meio, e se o número de termos na expansão binomial for ímpar, então [(n+1)/2]º e [(n+3)/2)ésimo são os termos médios.

Termo Independente

O termo que é independente das variáveis ​​na expansão de uma expressão é chamado de termo independente. O termo independente na expansão de axp + (b/xq)]n é

Tr+1 = nCr an-r br, onde r = (np/p+q), que é um número inteiro.

Propriedades do Teorema Binomial

1. C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
2. C0 + C2 + C4 + … = C1 + C3 + C5 + … = 2n-1
3. C0 – C1 + C2 – C3 + … +(−1)n . nCn = 0
4. nC1 + 2.nC2 + 3.nC3 + … + n.nCn = n.2n-1
5. C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 + … +(−1)n-1 Cn = 0 para n > 1
6. C02 + C12 + C22 + …Cn2 = [(2n)!/ (n!)2]

Conclusão

O teorema binomial é uma das fórmulas mais usadas na matemática. Ele tem um dos usos mais importantes em estatística, que é usado para resolver problemas em ciência de dados.

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