二項式定理：均值、標準差、性質及相關術語

進一步閱讀以了解二項式定理、其公式、展開式和逐步解釋。

二項式定理是數學領域最常用的方程之一，在其他各個領域也有大量的應用。 二項式定理的一些實際應用包括：

• 將 IP 地址分配給計算機。
• 預測與國家經濟有關的各種因素。
• 天氣預報。
• 建築學。

二項式定理，有時也稱為二項式展開，用於統計、代數、概率以及其他各種數學和物理領域。 二項式定理由以下公式表示：

(x+y) n = r=0 n C r n 。 x nr 。 你_

其中， n N 和 x,y R

什麼是二項式實驗？

二項式定理公式通常用於計算二項式實驗結果的概率。 二項式實驗是一個只能有兩個結果的事件。 例如，預測某一天的降雨； 結果只能是兩種情況之一——要么那天下雨，要么那天不下雨。

由於一種情況只有兩個固定結果，因此稱為二項式實驗。 你可以在日常生活中找到很多二項式實驗的例子。 拋硬幣、贏得比賽等都是二項式實驗。

必讀：數據科學統計

什麼是二項分佈？

二項式分佈可以被稱為在二項式實驗中某事發生或不發生的概率的度量。 一般表示為：

p：特定結果發生的概率

n：我們進行實驗的次數

這裡有一些例子可以幫助你理解，

• 如果我們擲骰子 10 次，那麼 n = 10 和 p 為 1,2,3,4,5 和 6 將是 ⅙。
• 如果我們拋硬幣 15 次，那麼 n = 15，正面和反面的 p 將是 1/2。

有很多與二項分佈相關的術語，可以幫助您找到有關任何問題的有價值的見解。 讓我們看一下二項分佈的兩個主要術語，標準差和均值。

二項分佈的標準差

二項分佈的標準差由以下公式確定：

= npq

在哪裡，

n = 試驗次數

p = 成功試驗的概率

q = 1-p = 試驗失敗的概率

閱讀：二項式係數

二項分佈的平均值

二項分佈的均值由下式確定，

= n*p

在哪裡，

n = 試驗次數

p = 成功試驗的概率

二項式定理簡介

二項式定理可以看作是一種擴展有限冪表達式的方法。 關於二項式展開，您需要記住以下幾點：

• 對於方程(x+y) n ，此展開式中的項數為 n+1。
• 在二項式展開中，兩項的指數之和為 n。
• C 0 n , C 1 n , C 2 n , .... 稱為二項式係數。
• 與起點和終點距離相等的二項式係數總是相等的。

通過查看帕斯卡三角可以找到所有項的係數。

與二項式定理相關的術語

現在讓我們看看二項式定理中最常用的術語。

• 一般術語

二項式定理中的一般項可以稱為任何給定項的通用方程，如果我們在該方程中插入必要的值，它將對應於該特定項。 它通常表示為T r+1 。

T r+1 = C r n 。 x nr 。 你_

• 中期

二項式定理的中項可以稱為二項式定理展開的中項的值。

如果展開式中的項數為偶數，則第(n/2 + 1)項為中項，若二項式展開式中的項數為奇數，則第[(n+1)/2]項和 [(n+3)/2)th 是中間項。

• 獨立任期

在表達式的展開中與變量無關的項稱為獨立項。 axp + (b/xq)]n 展開式中的獨立項是

Tr+1 = nCr an-r br，其中 r = (np/p+q) ，它是一個整數。

二項式定理的性質

1. C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
2. C0 + C2 + C4 + … = C1 + C3 + C5 + … = 2n-1
3. C0 – C1 + C2 – C3 + … +(−1)n 。 nCn = 0
4. nC1 + 2.nC2 + 3.nC3 + … + n.nCn = n.2n-1
5. C1 - 2C2 + 3C3 - 4C4 + … +(-1)n-1 Cn = 0，n > 1
6. C02 + C12 + C22 + …Cn2 = [(2n)!/ (n!)2]

結論

二項式定理是數學中最常用的公式之一。 它在統計學中具有最重要的用途之一，用於解決數據科學中的問題。

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