二項定理：平均、SD、プロパティおよび関連用語

公開: 2020-12-09

二項定理、その公式、その展開、および段階的な説明について学ぶためにさらに読んでください。

二項定理は、数学の分野で最も頻繁に使用される方程式の1つであり、他のさまざまな分野でも多数の用途があります。二項定理の実際のアプリケーションには、次のものがあります。

コンピュータへのIPアドレスの配布。
国の経済に関連するさまざまな要因の予測。
天気予報。
建築。

二項定理は、二項式展開とも呼ばれ、統計、代数、確率、およびその他のさまざまな数学および物理学の分野で使用されます。二項定理は、次の式で表されます。

（x + y） n = r = 0 n Crn 。 xnr 。 _ y r

ここで、 n Nおよびx、y R

二項実験とは何ですか？

二項定理の公式は、一般的に二項実験の結果の確率を計算するために使用されます。二項実験は、2つの結果しか得られないイベントです。たとえば、特定の日の雨を予測します。結果は、その日に雨が降るか、その日に雨が降らないかの2つのケースのうちの1つになります。

状況に対する固定された結果は2つしかないため、二項実験と呼ばれます。日常生活の中で二項実験の例をたくさん見つけることができます。コインを投げたり、レースに勝ったりすることは、二項実験です。

必読：データサイエンスの統計

二項分布とは何ですか？

二項分布は、二項実験で何かが発生する、または発生しない確率の尺度と呼ぶことができます。一般的には次のように表されます。

p：特定の結果が発生する確率

n：実験を行った回数

理解に役立ついくつかの例を次に示します。

サイコロを10回振ると、n = 10となり、1、2、3、4、5、6のpは⅙になります。
コインを15回投げると、n = 15になり、頭と尾のpは1/2になります。

二項分布に関連する用語はたくさんあり、問題に関する貴重な洞察を見つけるのに役立ちます。標準偏差と二項分布の平均という2つの主要な項を見てみましょう。

二項分布の標準偏差

二項分布の標準偏差は、次の式で決定されます。

= npq

どこ、

n=試行回数

p=試行が成功する確率

q =1-p=試行が失敗する確率

読む：二項係数

二項分布の平均

二項分布の平均は、次の式で決定されます。

= n * p

どこ、

n=試行回数

p=試行が成功する確率

二項定理の紹介

二項定理は、有限のべき乗式を拡張する方法と見なすことができます。二項展開について覚えておく必要のあることがいくつかあります。

方程式（x + y） nの場合、この展開の項の数はn+1です。
二項式展開では、両方の項の指数の合計はnです。
C 0 n 、 C 1 n 、 C 2 n 、…。二項係数と呼ばれます。
開始と終了から等距離にある二項係数は常に等しくなります。

すべての項の係数は、パスカルの三角形を見るとわかります。

二項定理に関連する用語

ここで、二項定理で最も頻繁に使用される用語を見てみましょう。

総称

二項定理の一般項は、任意の項の総称方程式と呼ぶことができます。これは、その方程式に必要な値を挿入すると、その特定の項に対応します。 通常、 T r+1として表されます。

T r + 1 = Crn 。 xnr 。 _ y r

中期

二項定理の中項は、二項定理の展開における中項の値と呼ぶことができます。

展開の項数が偶数の場合、（n / 2 + 1）番目の項が中間項であり、二項展開の項数が奇数の場合、[（n + 1）/ 2] thおよび[（n + 3）/ 2）thは中間項です。

独立した用語

式の展開で変数から独立している項は、独立項と呼ばれます。 axp +（b / xq）]nの展開における独立項は次のとおりです。

Tr + 1 = nCr an-r br、ここでr =（np / p + q）、これは整数です。

二項定理の性質

C0 + C1 +C2+…+Cn= 2n
C0 + C2 +C4+…=C1+ C3 +C5+…=2n-1
C0 – C1 + C2 – C3 +…+（-1）n。 nCn = 0
nC1 + 2.nC2 +3.nC3+…+n.nCn= n.2n-1
C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 +…+（-1）n-1 Cn = 0（n> 1の場合）
C02 + C12 +C22+…Cn2=[（2n）！/（n！）2]

結論

二項定理は、数学で最もよく使用される式の1つです。これは、データサイエンスの問題を解決するために使用される、統計における最も重要な用途の1つです。

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データサイエンスにおける二項定理の使用は何ですか？

二項定理は、成功または失敗、獲得または損失、勝ちまたは負けなど、2つの結果のみが考えられるものであり、成功と失敗の可能性はすべての試行で同じです。最後のトスは現在のトスの結果に影響を与えないため、各試行は独立しています。二項実験には2つの可能な結果があり、n回繰り返されます。二項分布には、nとpの2つのパラメーターがあります。ここで、nは試行の総数であり、pは各試行での成功の確率です。離散確率分布は、データサイエンスでバイナリおよびマルチクラス分類問題をモデル化し、信頼区間の計算などのバイナリ分類モデルのパフォーマンスを評価し、自然言語処理のためにテキスト内の単語の分布をモデル化するために使用されます。

二項定理は難しいですか？

学生が導出に慣れると、二項定理の概念を理解しやすくなります。二項定理は、（x + y）^ 7などのタイプ（a + b）^nのステートメントを拡張する方法を説明します。力が大きければ大きいほど、このような発言を直接提起することは難しくなります。一方、二項定理を使用すると、操作が非常に高速になります。二項定理は、高乗（に上げられる）で二項方程式を拡張するための簡単な方法です。この定理は代数の重要なトピック（一部）であり、順列と組み合わせ、確率、行列、数学的帰納法に適用されます。

二項定理の実際のユースケースは何ですか？

二項定理は、統計分析および確率分析で頻繁に使用されます。私たちの経済は統計と確率の計算に基づいているので、それは信じられないほど有益です。二項定理は、高度な数学とコンピューティングで使用され、より高い累乗の方程式の根を識別します。また、物理学や数学の多くの重要な方程式の証明にも使用されます。天気予報サービス、建築候補ランキング、エンジニアリングプロジェクトのコスト見積もり、およびバッチ内の不良アイテムの数にアプリケーションがあります。二項式は、二分法が現れる実際の状況で使用されます。