Teorema del binomio: media, desviación estándar, propiedades y términos relacionados
Publicado: 2020-12-09Siga leyendo para aprender sobre el teorema del binomio , su fórmula, su expansión y su explicación paso a paso.
El teorema del binomio es una de las ecuaciones más utilizadas en el campo de las matemáticas y también tiene una gran cantidad de aplicaciones en varios otros campos. Algunas de las aplicaciones del mundo real del teorema del binomio incluyen:
- La distribución de direcciones IP a las computadoras.
- Predicción de diversos factores relacionados con la economía de la nación.
- Predicción del tiempo.
- Arquitectura.
El teorema binomial, también conocido a veces como expansión binomial, se usa en estadística, álgebra, probabilidad y otros campos de las matemáticas y la física. El teorema del binomio se denota mediante la siguiente fórmula:
(x+y) norte = r =0 norte C r norte . x no . año _
donde, n N y x,y R
Tabla de contenido
¿Qué es un experimento binomial?
La fórmula del teorema binomial generalmente se usa para calcular la probabilidad del resultado de un experimento binomial. Un experimento binomial es un evento que solo puede tener dos resultados. Por ejemplo, predecir la lluvia en un día en particular; el resultado solo puede ser uno de los dos casos: lloverá ese día o no lloverá ese día.
Dado que solo hay dos resultados fijos en una situación, se denomina experimento binomial. Puedes encontrar muchos ejemplos de experimentos binomiales en tu vida diaria. Tirar una moneda, ganar una carrera, etc. son experimentos binomiales.
Debe leer: Estadísticas para la ciencia de datos
¿Qué es una distribución binomial?
La distribución binomial se puede denominar como la medida de probabilidad de que algo suceda o no suceda en un experimento binomial. Generalmente se representa como:
p: La probabilidad de que ocurra un resultado particular
n: El número de veces que realizamos el experimento
Aquí hay algunos ejemplos para ayudarlo a entender,
- Si lanzamos los dados 10 veces, entonces n = 10 y p para 1,2,3,4,5 y 6 será ⅙.
- Si lanzamos una moneda 15 veces, entonces n = 15 y p para cara y cruz será 1/2.
Hay muchos términos relacionados con la distribución binomial, que pueden ayudarlo a encontrar información valiosa sobre cualquier problema. Veamos los dos términos principales, la desviación estándar y la media de la distribución binomial.
Desviación estándar de una distribución binomial
La desviación estándar de una distribución binomial está determinada por la siguiente fórmula:
= npq
Donde,
n = Número de ensayos
p = La probabilidad de prueba exitosa
q = 1-p = La probabilidad de una prueba fallida
Leer: coeficiente binomial
Media de una distribución binomial
La media de una distribución binomial está determinada por,
= n*p
Donde,
n = Número de ensayos
p = La probabilidad de prueba exitosa
Introducción al teorema del binomio
El teorema del binomio puede verse como un método para expandir una expresión de potencia finita. Hay algunas cosas que debe tener en cuenta acerca de una expansión binomial:
- Para una ecuación (x+y) n el número de términos en esta expansión es n+1.
- En la expansión binomial, la suma de los exponentes de ambos términos es n.
- C 0 norte , C 1 norte , C 2 norte , …. se llama los coeficientes binomiales.
- Los coeficientes binomiales que están a la misma distancia del principio y del final son siempre iguales.
Los coeficientes de todos los términos se pueden encontrar observando el Triángulo de Pascal.
Términos relacionados con el teorema del binomio
Veamos ahora los términos más utilizados con el teorema del binomio .
- Termino general
El término general en el teorema del binomio puede denominarse ecuación genérica para cualquier término dado, que corresponderá a ese término específico si insertamos los valores necesarios en esa ecuación. Normalmente se representa como T r+1 .
V r+1 = C r norte . x no . año _
- Termino medio
Se puede hacer referencia al término medio del teorema del binomio como el valor del término del medio en la expansión del teorema del binomio.
Si el número de términos en la expansión es par, el (n/2 + 1)-ésimo término es el término del medio, y si el número de términos en la expansión binomial es impar, entonces [(n+1)/2]-ésimo y [(n+3)/2)th son los términos medios.
- Término Independiente
El término que es independiente de las variables en la expansión de una expresión se llama término independiente. El término independiente en el desarrollo de axp + (b/xq)]n es
Tr+1 = nCr an-r br, donde r = (np/p+q), que es un número entero.
Propiedades del teorema del binomio
- C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
- C0 + C2 + C4 + … = C1 + C3 + C5 + … = 2n-1
- C0 – C1 + C2 – C3 + … +(−1)n . nCn = 0
- nC1 + 2.nC2 + 3.nC3 + … + n.nCn = n.2n-1
- C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 + … +(−1)n-1 Cn = 0 para n > 1
- C02 + C12 + C22 + …Cn2 = [(2n)!/ (n!)2]
Conclusión
El teorema del binomio es una de las fórmulas más utilizadas en matemáticas. Tiene uno de los usos más importantes en estadística, que se utiliza para resolver problemas en ciencia de datos.
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¿Cuál es el uso del teorema del binomio en la ciencia de datos?
Un teorema binomial es aquel en el que solo son concebibles dos resultados, como éxito o fracaso, ganancia o pérdida, ganancia o pérdida, y la posibilidad de éxito o fracaso es la misma para todas las pruebas. Cada ensayo es independiente ya que el último lanzamiento no tiene relación ni afecta el resultado del lanzamiento actual. Un experimento binomial tiene solo dos resultados posibles y se repite n veces. Una distribución binomial tiene dos parámetros: nyp, donde n es el número total de intentos yp es la probabilidad de éxito en cada intento. Las distribuciones de probabilidad discretas se utilizan en la ciencia de datos para modelar problemas de clasificación binaria y multiclase y evaluar el rendimiento de los modelos de clasificación binaria, como el cálculo de intervalos de confianza, y modelar la distribución de palabras en el texto para el procesamiento del lenguaje natural.
¿Es difícil el teorema del binomio?
Una vez que los estudiantes están familiarizados con la derivación, la noción del teorema del binomio se vuelve fácil de comprender. El teorema del binomio describe cómo extender enunciados del tipo (a+b)^n, como (x+y)^7. Cuanto mayor es el poder, más difícil es plantear afirmaciones como esta directamente. ¡El teorema del binomio, por otro lado, hace que la operación sea bastante rápida! El teorema del binomio es un método simple para expandir una ecuación binomial con (que se elevan a) potencias altas. Este teorema es un tema crucial (parte) en álgebra, con aplicaciones en permutaciones y combinaciones, probabilidad, matrices e inducción matemática.
¿Cuáles son algunos casos de uso de teoremas binomiales en la vida real?
El teorema del binomio se emplea con frecuencia en análisis estadísticos y de probabilidad. Es increíblemente beneficioso porque nuestra economía se basa en cálculos estadísticos y de probabilidad. El teorema del binomio se usa en matemáticas avanzadas y computación para identificar raíces de ecuaciones en potencias superiores. También se utiliza en la demostración de muchas ecuaciones importantes en física y matemáticas. Tiene aplicaciones en servicios de pronóstico del tiempo, clasificación de candidatos de arquitectura, estimación de costos en proyectos de ingeniería y la cantidad de elementos defectuosos en un lote. El binomio se emplea en circunstancias de la vida real donde aparecen dicotomías.