Teorema binomiale: media, SD, proprietà e termini correlati
Pubblicato: 2020-12-09Continua a leggere per conoscere il teorema del binomio , la sua formula, la sua espansione e la spiegazione passo dopo passo.
Il teorema binomiale è una delle equazioni più utilizzate nel campo della matematica e ha anche un gran numero di applicazioni in vari altri campi. Alcune delle applicazioni nel mondo reale del teorema binomiale includono:
- La distribuzione di indirizzi IP ai computer.
- Previsione di vari fattori legati all'economia della nazione.
- Previsioni del tempo.
- Architettura.
Il teorema binomiale, noto anche come espansione binomiale, è utilizzato in statistica, algebra, probabilità e vari altri campi della matematica e della fisica. Il teorema binomiale è indicato dalla formula seguente:
(x+y) n = r=0 n C r n . x nr . si r
dove, n N e x,y R
Sommario
Che cos'è un esperimento binomiale?
La formula del teorema binomiale viene generalmente utilizzata per calcolare la probabilità del risultato di un esperimento binomiale. Un esperimento binomiale è un evento che può avere solo due risultati. Ad esempio, prevedere la pioggia in un giorno particolare; il risultato può essere solo uno dei due casi: o pioverà quel giorno, o quel giorno non pioverà.
Poiché ci sono solo due risultati fissi in una situazione, si parla di esperimento binomiale. Puoi trovare molti esempi di esperimenti binomiali nella tua vita quotidiana. Lanciare una moneta, vincere una gara, ecc. sono esperimenti binomiali.
Da leggere: Statistiche per la scienza dei dati
Cos'è una distribuzione binomiale?
La distribuzione binomiale può essere definita come la misura della probabilità che qualcosa accada o non accada in un esperimento binomiale. Viene generalmente rappresentato come:
p: La probabilità che si verifichi un determinato risultato
n: Il numero di volte in cui eseguiamo l'esperimento
Ecco alcuni esempi per aiutarti a capire,
- Se lanciamo i dadi 10 volte, allora n = 10 e p per 1,2,3,4,5 e 6 sarà ⅙.
- Se lanciamo una moneta per 15 volte, allora n = 15 e p per testa e croce sarà 1/2.
Esistono molti termini relativi alla distribuzione binomiale, che possono aiutarti a trovare preziose informazioni su qualsiasi problema. Diamo un'occhiata ai due termini principali, deviazione standard e media della distribuzione binomiale.
Deviazione standard di una distribuzione binomiale
La deviazione standard di una distribuzione binomiale è determinata dalla formula seguente:
= npq
Dove,
n = Numero di prove
p = La probabilità di successo della prova
q = 1-p = La probabilità di un tentativo fallito
Leggi: Coefficiente binomiale
Media di una distribuzione binomiale
La media di una distribuzione binomiale è determinata da
= n*p
Dove,
n = Numero di prove
p = La probabilità di successo della prova
Introduzione al Teorema Binomiale
Il teorema binomiale può essere visto come un metodo per espandere un'espressione di potenza finita. Ci sono alcune cose che devi tenere a mente su un'espansione binomiale:
- Per un'equazione (x+y) n il numero di termini in questa espansione è n+1.
- Nell'espansione binomiale, la somma degli esponenti di entrambi i termini è n.
- C 0 n , C 1 n , C 2 n , …. prende il nome di coefficienti binomiali.
- I coefficienti binomiali che sono alla stessa distanza dall'inizio e dalla fine sono sempre uguali.
I coefficienti di tutti i termini possono essere trovati osservando il Triangolo di Pascal.
Termini relativi al Teorema Binomiale
Vediamo ora i termini più usati con il teorema del binomio .
- Termine generale
Il termine generale nel teorema binomiale può essere indicato come un'equazione generica per un dato termine, che corrisponderà a quel termine specifico se inseriamo i valori necessari in quell'equazione. Di solito è rappresentato come T r+1 .
T r+1 = C r n . x nr . si r
- Medio termine
Il termine medio del teorema binomiale può essere indicato come il valore del termine medio nell'espansione del teorema binomiale.
Se il numero di termini nell'espansione è pari, il (n/2 + 1)esimo termine è il termine medio, e se il numero di termini nell'espansione binomiale è dispari, allora [(n+1)/2]esimo e [(n+3)/2)esimo sono i termini medi.
- Termine indipendente
Il termine che è indipendente dalle variabili nell'espansione di un'espressione è chiamato termine indipendente. Il termine indipendente nell'espansione di axp + (b/xq)]n è
Tr+1 = nCr an-r br, dove r = (np/p+q) , che è un numero intero.
Proprietà del teorema binomiale
- C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
- C0 + C2 + C4 + … = C1 + C3 + C5 + … = 2n-1
- C0 – C1 + C2 – C3 + … +(−1)n . nCn = 0
- nC1 + 2.nC2 + 3.nC3 + … + n.nCn = n.2n-1
- C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 + … +(−1)n-1 Cn = 0 per n > 1
- C02 + C12 + C22 + …Cn2 = [(2n)!/ (n!)2]
Conclusione
Il teorema binomiale è una delle formule più utilizzate in matematica. Ha uno degli usi più importanti nella statistica, che viene utilizzato per risolvere i problemi nella scienza dei dati.
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Qual è l'uso del teorema binomiale nella scienza dei dati?
Un teorema binomiale è quello in cui sono concepibili solo due risultati, come successo o fallimento, guadagno o perdita, vittoria o perdita, e la possibilità di successo e fallimento è la stessa per tutte le prove. Ogni prova è indipendente poiché l'ultimo lancio non ha attinenza o influenza il risultato del lancio corrente. Un esperimento binomiale ha solo due possibili risultati e viene ripetuto n volte. Una distribuzione binomiale ha due parametri: n e p, dove n è il numero totale di prove e p è la probabilità di successo in ciascuna prova. Le distribuzioni di probabilità discrete vengono utilizzate nella scienza dei dati per modellare problemi di classificazione binaria e multiclasse e valutare le prestazioni dei modelli di classificazione binaria, come il calcolo degli intervalli di confidenza, e modellare la distribuzione delle parole nel testo per l'elaborazione del linguaggio naturale.
Il teorema binomiale è difficile?
Una volta che gli studenti hanno familiarità con la derivazione, la nozione di teorema binomiale diventa semplice da comprendere. Il teorema binomiale descrive come estendere affermazioni del tipo (a+b)^n, come (x+y)^7. Maggiore è il potere, più difficile è sollevare direttamente affermazioni come questa. Il teorema del Binomiale, d'altra parte, rende l'operazione piuttosto veloce! Il teorema binomiale è un metodo semplice per espandere un'equazione binomiale con (elevate a) potenze elevate. Questo teorema è un argomento (parte) cruciale in algebra, con applicazioni in Permutazioni e Combinazioni, Probabilità, Matrici e Induzione Matematica.
Quali sono alcuni casi d'uso nella vita reale dei teoremi binomiali?
Il teorema binomiale è spesso impiegato nelle analisi statistiche e probabilistiche. È incredibilmente vantaggioso perché la nostra economia si basa su calcoli statistici e di probabilità. Il teorema binomiale è utilizzato nella matematica avanzata e nell'informatica per identificare le radici delle equazioni nelle potenze superiori. È anche usato nella dimostrazione di molte equazioni significative in fisica e matematica. Ha applicazioni nei servizi di previsioni meteorologiche, nella classifica dei candidati all'architettura, nella stima dei costi nei progetti di ingegneria e nel numero di articoli difettosi in un lotto. Il binomio è impiegato in circostanze della vita reale in cui compaiono dicotomie.