Twierdzenie dwumianowe: średnia, SD, właściwości i terminy pokrewne

Czytaj dalej, aby dowiedzieć się o twierdzeniu dwumianowym , jego wzorze, jego rozwinięciu i wyjaśnieniu krok po kroku.

Twierdzenie dwumianowe jest jednym z najczęściej używanych równań w dziedzinie matematyki, a także ma wiele zastosowań w różnych innych dziedzinach. Niektóre z rzeczywistych zastosowań twierdzenia dwumianowego obejmują:

• Dystrybucja adresów IP do komputerów.
• Przewidywanie różnych czynników związanych z gospodarką narodu.
• Prognoza pogody.
• Architektura.

Twierdzenie dwumianowe, czasami znane również jako rozwinięcie dwumianowe, jest używane w statystyce, algebrze, prawdopodobieństwie i różnych innych dziedzinach matematyki i fizyki. Twierdzenie dwumianowe oznacza poniższy wzór:

(x+y) n = r=0 n C r n . x nr . y r

gdzie, n N i x,y R

Co to jest eksperyment dwumianowy?

Wzór na twierdzenie dwumianowe jest zwykle używany do obliczania prawdopodobieństwa wyniku eksperymentu dwumianowego. Eksperyment dwumianowy to zdarzenie, które może mieć tylko dwa wyniki. Na przykład przewidywanie deszczu w określonym dniu; rezultatem może być tylko jeden z dwóch przypadków – albo tego dnia będzie padać, albo nie będzie padać tego dnia.

Ponieważ istnieją tylko dwa stałe wyniki sytuacji, nazywa się to eksperymentem dwumianowym. W codziennym życiu możesz znaleźć wiele przykładów eksperymentów dwumianowych. Rzucanie monetą, wygrywanie wyścigu itp. to eksperymenty dwumianowe.

Trzeba przeczytać: statystyki dla nauki o danych

Co to jest rozkład dwumianowy?

Rozkład dwumianowy można nazwać miarą prawdopodobieństwa, że ​​coś się wydarzy lub nie wydarzy się w eksperymencie dwumianowym. Jest ogólnie przedstawiany jako:

p: prawdopodobieństwo wystąpienia określonego wyniku

n: ile razy wykonujemy eksperyment

Oto kilka przykładów, które pomogą Ci zrozumieć,

• Jeśli rzucimy kostką 10 razy, to n = 10 i p dla 1,2,3,4,5 i 6 będzie .
• Jeśli rzucimy monetą 15 razy, to n = 15, a p dla orłów i reszek wyniesie 1/2.

Istnieje wiele terminów związanych z rozkładem dwumianowym, które mogą pomóc w znalezieniu cennych informacji na temat dowolnego problemu. Przyjrzyjmy się dwóm głównym terminom: odchylenie standardowe i średnia rozkładu dwumianowego.

Odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego

Odchylenie standardowe rozkładu dwumianowego określa poniższy wzór:

= npq

Gdzie,

n = liczba prób

p = prawdopodobieństwo pomyślnej próby

q = 1-p = Prawdopodobieństwo nieudanej próby

Przeczytaj: Współczynnik dwumianowy

Średnia z rozkładu dwumianowego

Średnia z rozkładu dwumianowego jest określona przez,

= n*p

Gdzie,

n = liczba prób

p = prawdopodobieństwo pomyślnej próby

Wprowadzenie do twierdzenia dwumianowego

Twierdzenie dwumianowe może być postrzegane jako metoda rozwinięcia wyrażenia potęgi skończonej. Jest kilka rzeczy, o których należy pamiętać w przypadku rozwinięcia dwumianowego:

• Dla równania (x+y) n liczba wyrazów w tym rozwinięciu wynosi n+1.
• W rozwinięciu dwumianowym suma wykładników obu wyrazów wynosi n.
• C 0 n , C 1 n , C 2 n , …. nazywa się współczynnikami dwumianowymi.
• Współczynniki dwumianowe znajdujące się w równej odległości od początku i końca są zawsze równe.

Współczynniki wszystkich terminów można znaleźć patrząc na trójkąt Pascala.

Pojęcia związane z twierdzeniem dwumianowym

Przyjrzyjmy się teraz najczęściej używanym terminom z twierdzeniem dwumianowym .

• Termin ogólny

Termin ogólny w twierdzeniu dwumianowym można nazwać równaniem ogólnym dla dowolnego terminu, który będzie odpowiadał temu konkretnemu terminowi, jeśli wstawimy do tego równania niezbędne wartości. Jest zwykle przedstawiany jako T r+1 .

Tr + 1 = Crn . _ x nr . y r

• Średnioterminowy

Termin środkowy twierdzenia dwumianowego można określić jako wartość składnika środkowego w rozwinięciu twierdzenia dwumianowego.

Jeśli liczba wyrazów w rozwinięciu jest parzysta, (n/2 + 1)-ty wyraz jest wyrazem środkowym, a jeśli liczba wyrazów w rozwinięciu dwumianowym jest nieparzysta, to [(n+1)/2]-ty a [(n+3)/2)th są wyrazami środkowymi.

• Niezależny termin

Termin niezależny od zmiennych w rozwinięciu wyrażenia nazywamy terminem niezależnym. Niezależny wyraz w rozwinięciu axp + (b/xq)]n to

Tr+1 = nCr an-r br, gdzie r = (np/p+q) , który jest liczbą całkowitą.

Własności twierdzenia dwumianowego

1. C0 + C1 + C2 + … + Cn = 2n
2. C0 + C2 + C4 + … = C1 + C3 + C5 + … = 2n-1
3. C0 – C1 + C2 – C3 + … +(−1)n . nCn = 0
4. nC1 + 2.nC2 + 3.nC3 + … + n.nCn = n.2n-1
5. C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 + … +(−1)n-1 Cn = 0 dla n > 1
6. C02 + C12 + C22 + …Cn2 = [(2n)!/ (n!)2]

Wniosek

Twierdzenie dwumianowe jest jednym z najczęściej używanych formuł stosowanych w matematyce. Ma jedno z najważniejszych zastosowań w statystyce, które służy do rozwiązywania problemów w data science.

Sprawdź kursy oferowane przez upGrad we współpracy z najlepszymi uniwersytetami i liderami branży. Niektóre z kursów oferowanych przez upGrad to:

• PG Diploma in Data Science : Jest to 12-miesięczny kurs na temat Data Science prowadzony przez upGrad we współpracy z IIIT-B.
• Masters of Science in Data Science : 18-miesięczny kurs prowadzony przez upGrad we współpracy z IIIT-B i Liverpool John Moores University.
• Certyfikacja PG w dziedzinie nauki o danych: 7-miesięczny kurs nauki o danych prowadzony przez upGrad we współpracy z IIIT-B.