สัมประสิทธิ์ทวินาม: คำจำกัดความ การนำไปใช้ & การใช้

บทนำ

ในสถิติ ค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม ส่วนใหญ่จะใช้ควบคู่กับการแจกแจง แต่มีมากกว่านั้นเมื่อนำไปใช้กับอัลกอริธึมการคำนวณ มีการใช้อย่างกว้างขวางในด้านการเรียนรู้ของเครื่องทางสถิติตลอดจนการเขียนโปรแกรมแบบไดนามิก แนวคิดพื้นฐานที่สุดเกี่ยวกับ สัมประสิทธิ์ทวินาม มาจากการแจกแจงทวินาม สัมประสิทธิ์ถูกใช้ในทฤษฎีบททวินามและด้วยเหตุนี้ชื่อ

โดยพื้นฐาน แล้ว สัมประสิทธิ์ทวินาม มีสองคำจำกัดความ มีดังนี้

1. สัมประสิทธิ์ทวินามสำหรับการหาค่าผสม

ค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม ใช้เพื่อค้นหาจำนวนวิธีในการเลือกวัตถุจำนวนหนึ่งจากพูลของวัตถุที่ให้มา ตามสถิติแล้ว สัมประสิทธิ์ทวินาม สามารถช่วยค้นหาจำนวนวิธีที่สามารถเลือกออบเจกต์ y จากออบเจกต์ x ทั้งหมดได้ จำนวนเซ็ตย่อยขององค์ประกอบ y จาก x

สูตรมาดังนี้:

สำหรับการเลือกชุดย่อยขององค์ประกอบ y จากวัตถุ x ค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม หรือการรวมกันที่เป็นไปได้คือ xCy = x! / ย! * (xy)!

วิธีนี้อาจมีประโยชน์อย่างเหลือเชื่อในขณะที่ต้องคิดหาจำนวนชุดค่าผสมที่เป็นไปได้จากกลุ่มวัตถุขนาดใหญ่ แต่สิ่งนี้ใช้ที่ไหน?

ตัวอย่าง

ลองนึกภาพว่ามีชั้นเรียนที่มีนักเรียน 15 คน หากคุณต้องการเลือกทีมที่มีนักเรียน 7 คนสำหรับการแข่งขัน คุณต้องหาชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ ในขณะที่ใช้สูตรของ สัมประสิทธิ์ทวินาม คำตอบก็สามารถคำนวณได้อย่างง่ายดาย

ชุดค่าผสมทั้งหมด = 15! / 7! * (15-7)! = 15! / 7! * 8!

กรณีอื่นๆ อีกหลายกรณีซับซ้อนกว่ามาก ซึ่ง ใช้ สัมประสิทธิ์ทวินาม ตัวอย่างเช่น การเลือกพรรคการเมืองเพื่อการเลือกตั้ง หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การรวมกลุ่ม ลองนึกภาพว่ามีร่างกฎหมายที่ต้องผ่าน และคุณคือเสียงข้างมากของพรรครัฐบาล คุณต้องตัดสินใจว่าจะมีคะแนนเสียงใดบ้างและสมาชิกจะต้องลงคะแนนเสียงกี่คน สมาชิกต้องมาจากฝ่ายปกครองและฝ่ายค้าน สามารถใช้ combinatorics เพื่อค้นหาสมาชิกเพื่อขอคะแนนเสียงจาก

อ่านเกี่ยวกับ: 13 แนวคิดโครงงานโครงสร้างข้อมูลที่น่าสนใจและหัวข้อสำหรับผู้เริ่มต้น

2. สัมประสิทธิ์ทวินามสำหรับการกระจาย

คำจำกัดความนี้เป็นทางการและเป็นสถิติมากกว่า มันหมายถึงการหาสัมประสิทธิ์การขยายตัวของพหุนาม พูดง่ายๆ ก็คือ สัมประสิทธิ์ทวินาม C(a, b) สามารถกำหนดเป็นสัมประสิทธิ์ของ x^b ในรูปแบบการกระจายของ (x+1)^a

ให้เราเข้าใจสิ่งนี้ด้วยตัวอย่าง

ตัวอย่าง

ตัวอย่างเช่น คุณต้องการการขยายพหุนามของ (x+1)^2 ถ้าเราเปรียบเทียบกับคำจำกัดความของเรา เราจะได้ a=2 และ b=0,1,2

จากการคำนวณด้วยตนเอง เรารู้ว่าการขยายตัวของ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 แต่สัมประสิทธิ์เหล่านั้นคำนวณอย่างไร

ให้เราใช้สูตร:

สัมประสิทธิ์ของ x^0 = C(2,0)

สัมประสิทธิ์ของ x^1 = C(2,1)

สัมประสิทธิ์ของ x^2 = C(2,2)

ดังนั้น การขยายสามารถเขียนได้ดังนี้: C(2,0)x^0 + C(2,1)x^1 + C(2,2)x^2

สูตรยังคงเดิม C(a,b) = เอ! / ข! * (แอ๊บ)!

ใช้สูตรเดียวกันตรงนี้ C(2,0) = 2! / 0! * (2-0)! = 1

C(2,1) = 2! / 1! * (2-1)! = 2

C(2,2) = 2! / 2! * (2-2)! = 1

ทีนี้ ถ้าเราแทนค่าเหล่านี้ในการขยาย เราจะได้ x^2 + 2x + 1

เป็นคำตอบที่เราต้องการ เนื่องจากนี่เป็นการขยายที่เล็กกว่า คุณอาจรู้สึกว่าวิธีการคูณแบบง่ายดีกว่า แต่ถ้าคุณต้องการคำนวณรูปแบบขยายของ (x+1)^17

ไม่มีทางที่คุณจะคูณมันได้หลายๆ ครั้ง และมันจะเป็นงานที่น่าเบื่อหน่าย แต่ด้วยแนวคิดเรื่อง สัมประสิทธิ์ทวินาม งานก็กลายเป็นเรื่องง่าย

อ่าน: Python Recursive Function Concept: บทช่วยสอน Python สำหรับผู้เริ่มต้น

การใช้งาน Python

ก่อนที่จะใช้สูตรในการหา สัมประสิทธิ์ทวินาม จำเป็นต้องสังเกตสองสามจุด มีสองส่วนที่จำเป็นในการใช้งานฟังก์ชัน หนึ่งคือโครงสร้างพื้นฐานและที่สองคือฟังก์ชันเพื่อทำซ้ำโครงสร้างพื้นฐาน

ในการค้นหาค่าของ C(a, b) ซ้ำๆ เราสามารถใช้โครงสร้างย่อยต่อไปนี้:

C(a, 0) และ C(a, a) = 1

C(a, b) = C(a-1, b) + C(a-1, b-1)

เมื่อใช้สองสูตรนี้ ฟังก์ชันแบบเรียกซ้ำสามารถนำมาใช้ได้ โปรดทราบว่าในระดับที่สูงขึ้นของการขยายตัว โครงสร้างย่อยจำนวนมากจะถูกทำซ้ำ อาจเพิ่มเวลาในการคำนวณได้หากการคำนวณซ้ำโดยไม่จำเป็น ดังนั้น เพื่อการใช้งานอย่างมีประสิทธิภาพ การรักษาพจนานุกรมด้วยการคำนวณก่อนหน้าทั้งหมดจึงเป็นสิ่งสำคัญ

การใช้งานประเภทนี้มีเวลาที่ซับซ้อนของ O(a*b) ความซับซ้อนของพื้นที่แตกต่างกันไปตามการใช้งาน แต่สามารถจำกัดไว้ที่ O(b)

หากคุณใช้ Python และไม่ต้องการใช้ฟังก์ชันนี้ด้วยตัวเอง คุณสามารถใช้ไลบรารี SciPy ของ Python ได้ โมดูลพิเศษใน SciPy มีฟังก์ชัน binom() นี่คือวิธีที่สามารถใช้ได้:

เพียงพิมพ์ scipy.special.binom(a, b) แล้วมันจะระบุค่าให้เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น scipy.special.binom(4,3); จะให้ผลลัพธ์ – 4.0

การใช้งาน

การใช้งานเบื้องต้นของ สัมประสิทธิ์ทวินาม ได้ถูกกล่าวถึงข้างต้นแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์ทวินาม ใช้สำหรับการวิเคราะห์เช่นเดียวกับฐานสำหรับการแจกแจงทวินาม การใช้งานที่ไม่ค่อยมีใครรู้จักคือ สัมประสิทธิ์ทวินาม แทนค่าในสามเหลี่ยมปาสกาล เหตุผลทางสถิติประเภทนี้ทำให้ สัมประสิทธิ์ทวินาม จำเป็นต้องเข้าใจ

ชำระเงินด้วย: การกระจายทวินามใน Python พร้อมตัวอย่างในโลกแห่งความจริง

บทสรุป

ดังนั้น นี่คือทั้งหมดที่เกี่ยวกับ สัมประสิทธิ์ทวินาม จากมุมมองทางสถิติและจากมุมมองของการนำไปปฏิบัติ เราได้พูดถึงคำจำกัดความทั้งสองของ สัมประสิทธิ์ทวินาม สำหรับการรวมกันและการคำนวณสัมประสิทธิ์การขยายตัว ได้มีการหารือเกี่ยวกับกลยุทธ์การนำไปปฏิบัติและการใช้งานห้องสมุด

มีการใช้งานทางสถิติอีกมากมายสำหรับ สัมประสิทธิ์ทวินาม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเห็นกับการแจกแจง ดังนั้น จึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเรียนรู้เกี่ยวกับ สัมประสิทธิ์ทวินาม ก่อนที่จะมุ่งไปสู่แนวคิดที่อิงสถิติขั้นสูง เช่น การเรียนรู้ของเครื่องหลักและอัลกอริธึมการวิเคราะห์

หากคุณสนใจที่จะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับแมชชีนเลิร์นนิง โปรดดูที่ IIIT-B & upGrad's PG Diploma in Machine Learning & AI ซึ่งออกแบบมาสำหรับมืออาชีพที่ทำงานและมีการฝึกอบรมที่เข้มงวดมากกว่า 450 ชั่วโมง กรณีศึกษาและการมอบหมายมากกว่า 30 รายการ IIIT- สถานะศิษย์เก่า B, 5+ โครงการหลักที่ใช้งานได้จริง & ความช่วยเหลือด้านงานกับบริษัทชั้นนำ