Coeficiente binomial: definiciones, implementación y uso

Introducción

En estadística, los coeficientes binomiales se utilizan principalmente junto con las distribuciones. Pero, hay más en ellos cuando se aplican a algoritmos computacionales. Se utilizan ampliamente en el campo del aprendizaje automático estadístico, así como en la programación dinámica. La idea más básica sobre los coeficientes binomiales se deriva de una distribución binomial. Los coeficientes se utilizan en el teorema del binomio y, por lo tanto, el nombre.

Principalmente, los coeficientes binomiales tienen dos definiciones. Son los siguientes:

1. Coeficientes binomiales para encontrar combinaciones

Los coeficientes binomiales se utilizan para encontrar el número de formas de seleccionar un determinado número de objetos del conjunto de objetos proporcionado. Estadísticamente, un coeficiente binomial puede ayudar a encontrar el número de formas en que se pueden seleccionar y objetos de un total de x objetos. El número de subconjuntos de elementos y de x.

La fórmula se deriva como:

Para seleccionar los subconjuntos de elementos y de los objetos x, el coeficiente binomial o las combinaciones posibles son xCy = x. / y! * (xy)!

Este método podría ser increíblemente útil al tener que averiguar la cantidad de combinaciones posibles de una gran cantidad de objetos. Pero, ¿dónde se aplica esto?

Ejemplo

Imagina que hay una clase con 15 estudiantes. Si necesita seleccionar un equipo de 7 estudiantes para una competencia, debe averiguar las posibles combinaciones. Al usar la fórmula de los coeficientes binomiales , la respuesta podría calcularse fácilmente.

Las combinaciones totales = 15! / 7! * (15-7)! = 15! / 7! * 8!

Muchos otros casos son mucho más complicados, en los que se utilizan coeficientes binomiales . Por ejemplo, elegir un partido político para las elecciones o, más concretamente, un sindicato. Imagínese que hay un proyecto de ley para aprobar, y usted es el látigo de la mayoría para el partido gobernante. Debe decidir qué votos hay y cuántos miembros se requerirán para votar por el proyecto de ley. Los miembros deben ser tanto del partido gobernante como de la oposición. La combinatoria se puede aplicar para encontrar los miembros a los que pedir los votos.

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2. Coeficientes Binomiales de Distribución

Esta definición es más formal y estadística. Significa encontrar los coeficientes de una expansión polinomial. En pocas palabras, el coeficiente binomial C(a, b) se puede definir como el coeficiente de x^b en la forma distribuida de (x+1)^a.

Entendamos esto con un ejemplo.

Ejemplo

Por ejemplo, quieres una expansión polinomial de (x+1)^2. Si lo comparamos con nuestra definición, obtenemos a=2 yb=0,1,2.

Por cálculo manual sabemos que la expansión de (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1. Pero, ¿cómo se calculan esos coeficientes?

Apliquemos la fórmula:

El coeficiente de x^0 = C(2,0)

El coeficiente de x^1 = C(2,1)

El coeficiente de x^2 = C(2,2)

Por lo tanto, la expansión se puede escribir como: C(2,0)x^0 + C(2,1)x^1 + C(2,2)x^2

La fórmula sigue siendo la misma. C(a,b) = a! / ¡B! * (ab)!

¡Aplicando la misma fórmula aquí, C(2,0) = 2! / 0! * (2-0)! = 1

C(2,1) = 2! / 1! * (2-1)! = 2

C(2,2) = 2! / 2! * (2-2)! = 1

Ahora, si sustituimos estos valores en la expansión, obtenemos x^2 + 2x + 1.

Es la respuesta exacta que necesitábamos. Como esta fue una expansión más pequeña, puede sentir que la forma de multiplicación simple es mejor. Pero, ¿qué pasa si necesitas calcular la forma expandida de (x+1)^17?

No hay forma de que puedas multiplicar eso muchas veces, y será un trabajo tedioso. Pero, con el concepto de coeficientes binomiales , el trabajo se vuelve simple.

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Implementación de Python

Antes de implementar la fórmula para encontrar los coeficientes binomiales , es necesario tener en cuenta algunos puntos. Hay dos partes necesarias para implementar la función. Una es la subestructura y la segunda es una función para repetir las subestructuras.

Para encontrar recursivamente el valor de C(a, b), podemos usar la siguiente subestructura:

C(a, 0) y C(a, a) = 1

C(a, b) = C(a-1, b) + C(a-1, b-1)

Usando estas dos fórmulas, se podría implementar una función recursiva. Tenga en cuenta que en un mayor grado de expansión, muchas de las subestructuras se repetirían. Podría aumentar el tiempo de cálculo si los cálculos se repiten innecesariamente. Por lo tanto, para una implementación efectiva, es importante mantener un diccionario con todos los cálculos anteriores.

Este tipo de implementación tiene una complejidad temporal de O(a*b). La complejidad del espacio varía según la implementación, pero puede restringirse a O(b).

Si está usando Python y no quiere implementar la función usted mismo, puede usar la biblioteca SciPy de Python. El módulo especial en SciPy tiene la función binom(). Así es como se puede usar:

Simplemente escriba, scipy.special.binom(a, b) y proporcionará el valor para el mismo. Por ejemplo, scipy.special.binom(4,3); dará la salida - 4.0

Uso

Los usos principales de los coeficientes binomiales ya se han discutido anteriormente. Los coeficientes binomiales se utilizan para el análisis, así como la base para la distribución binomial. Un uso menos conocido es que los coeficientes binomiales representan las entradas en el triángulo de Pascal. Este tipo de razones estadísticas hacen que sea necesario comprender los coeficientes binomiales .

Consulte también: Distribución binomial en Python con ejemplos del mundo real

Conclusión

Entonces, todo esto se trataba de coeficientes binomiales desde un punto de vista estadístico y de implementación. Discutimos las dos definiciones de coeficientes binomiales , para combinaciones y para calcular coeficientes de expansión. Se discutió la estrategia de implementación, así como la implementación de la biblioteca.

Hay muchas más aplicaciones estadísticas para los coeficientes binomiales , especialmente cuando se ven con las distribuciones. Y, por lo tanto, es crucial aprender sobre los coeficientes binomiales antes de dirigirse a conceptos avanzados basados ​​​​en estadísticas como el aprendizaje automático central y los algoritmos de análisis.

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