Binom Katsayısı: Tanımlar, Uygulama ve Kullanım

Tanıtım

İstatistikte, binom katsayıları büyük ölçüde dağılımlarla birlikte kullanılır. Ancak, hesaplama algoritmalarına uygulandığında daha fazlası vardır. Dinamik programlamanın yanı sıra istatistiksel makine öğrenimi alanında yaygın olarak kullanılırlar. Binom katsayıları hakkındaki en temel fikir , binom dağılımından türetilmiştir. Katsayılar binom teoreminde ve dolayısıyla isimde kullanılır.

Öncelikle, binom katsayılarının iki tanımı vardır. Bunlar aşağıdaki gibidir:

1. Kombinasyonları Bulma İçin Binom Katsayıları

Binom katsayıları , sağlanan nesne havuzundan belirli sayıda nesneyi seçmenin yollarını bulmak için kullanılır. İstatistiksel olarak, bir binom katsayısı , toplam x nesneden y nesnesinin kaç şekilde seçilebileceğini bulmaya yardımcı olabilir. x'ten y öğesi alt kümelerinin sayısı.

Formül şu şekilde elde edilir:

x nesnesinden y elemanı alt kümelerini seçmek için, binom katsayısı veya olası kombinasyonlar xCy = x'tir! / y! * (xy)!

Bu yöntem, büyük bir nesne havuzundan mümkün olan kombinasyonların sayısını hesaplamak zorunda kalırken inanılmaz derecede faydalı olabilir. Ama bu nerede geçerli?

Örnek vermek

15 kişilik bir sınıf olduğunu düşünün. Bir yarışma için 7 kişilik bir takım seçmeniz gerekiyorsa, olası kombinasyonları bulmanız gerekir. Binom katsayıları formülü kullanılırken cevap kolayca hesaplanabilir.

Toplam kombinasyon = 15! / 7! * (15-7)! = 15! / 7! * 8!

Binom katsayılarının kullanıldığı diğer birçok durum çok daha karmaşıktır . Örneğin, seçimler için bir siyasi partiyi veya daha spesifik olarak bir sendikayı seçmek. Kabul edilmesi gereken bir yasa tasarısı olduğunu ve iktidar partisi için çoğunluk kırbacı olduğunuzu hayal edin. Hangi oyların mevcut olduğuna ve yasa tasarısı için kaç üyenin oy kullanması gerektiğine karar vermeniz gerekiyor. Üyelerin hem iktidardan hem de muhalefet partisinden olması gerekiyor. Oyların sorulacağı üyeleri bulmak için kombinatorikler uygulanabilir.

Hakkında Okuyun: Yeni Başlayanlar İçin 13 İlginç Veri Yapısı Projesi Fikirleri ve Konuları

2. Dağılım için Binom Katsayıları

Bu tanım daha resmi ve istatistikseldir. Bir polinom açılımının katsayılarını bulmak anlamına gelir. Basitçe ifade etmek gerekirse, C(a, b) binom katsayısı , (x+1)^a'nın dağıtılmış formunda x^b'nin katsayısı olarak tanımlanabilir.

Bunu bir örnekle anlayalım.

Örnek vermek

Örneğin, (x+1)^2 polinom açılımını istiyorsunuz. Bunu tanımımızla karşılaştırırsak a=2 ve b=0,1,2 elde ederiz.

Manuel hesaplama ile (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1'in açılımını biliyoruz. Peki, bu katsayılar nasıl hesaplanıyor?

Formülü uygulayalım:

x^0 = C(2,0) katsayısı

x^1 = C(2,1) katsayısı

x^2 = C(2,2) katsayısı

Dolayısıyla açılım şu şekilde yazılabilir: C(2,0)x^0 + C(2,1)x^1 + C(2,2)x^2

Formül aynı kalır. C(a,b) = a! / B! * (ab)!

Aynı formülü burada uygulayarak, C(2,0) = 2! / 0! * (2-0)! = 1

C(2,1) = 2! / 1! * (2-1)! = 2

C(2,2) = 2! / 2! * (2-2)! = 1

Şimdi bu değerleri açılımda yerine koyarsak x^2 + 2x + 1 elde ederiz.

Tam da ihtiyacımız olan cevap buydu. Bu daha küçük bir açılım olduğundan, basit çarpma yolunun daha iyi olduğunu hissedebilirsiniz. Peki ya (x+1)^17'nin genişletilmiş biçimini hesaplamanız gerekirse?

Bunu defalarca çoğaltmanın bir yolu yok ve yorucu bir iş olacak. Ancak binom katsayıları kavramı ile iş basitleşir.

Okuyun: Python Özyinelemeli İşlev Konsepti: Yeni Başlayanlar için Python Eğitimi

Python Uygulaması

Binom katsayılarını bulma formülünü uygulamadan önce birkaç noktaya dikkat etmek gerekir. İşlevi uygulamak için gereken iki bölüm vardır. Biri altyapı, ikincisi ise alt yapıları tekrar eden bir fonksiyon.

C(a, b) değerini yinelemeli olarak bulmak için aşağıdaki alt yapıyı kullanabiliriz:

C(a, 0) ve C(a, a) = 1

C(a, b) = C(a-1, b) + C(a-1, b-1)

Bu iki formülü kullanarak, özyinelemeli bir işlev uygulanabilir. Daha yüksek bir genişleme derecesinde, birçok alt yapının tekrarlanacağını unutmayın. Hesaplamaların gereksiz yere tekrar edilmesi hesaplama süresini uzatabilir. Bu nedenle, etkili uygulama için önceki tüm hesaplamaları içeren bir sözlük tutmak önemlidir.

Bu tür bir uygulama, O(a*b) zaman karmaşıklığına sahiptir. Alan karmaşıklığı uygulamaya göre değişir ancak O(b) ile sınırlandırılabilir.

Python kullanıyorsanız ve işlevi kendiniz uygulamak istemiyorsanız Python'un SciPy kitaplığını kullanabilirsiniz. SciPy'deki özel modül, binom() işlevine sahiptir. İşte nasıl kullanılabileceği:

Sadece scipy.special.binom(a, b) yazın ve aynı değeri sağlayacaktır. Örneğin, scipy.special.binom(4,3); çıktıyı verecek - 4.0

kullanım

Binom katsayılarının birincil kullanımları yukarıda tartışılmıştır. Binom katsayıları , analiz için olduğu kadar binom dağılımının temeli için de kullanılır. Daha az bilinen bir kullanım, binom katsayılarının Pascal üçgenindeki girdileri temsil etmesidir. Bu tür istatistiksel nedenler, binom katsayılarını anlamak için gerekli kılar.

Ayrıca Ödeme: Gerçek Dünya Örnekleriyle Python'da Binom Dağılımı

Çözüm

Yani, bu tamamen istatistiksel ve uygulama açısından binom katsayıları ile ilgiliydi. Kombinasyonlar ve genişleme katsayılarını hesaplamak için binom katsayılarının iki tanımını tartıştık . Uygulama stratejisi ve kütüphane uygulaması tartışıldı.

Binom katsayıları için , özellikle dağılımlarla birlikte görüldüğünde, daha birçok istatistiksel uygulama vardır. Bu nedenle, temel makine öğrenimi ve analiz algoritmaları gibi gelişmiş istatistik tabanlı kavramlara geçmeden önce binom katsayıları hakkında bilgi edinmek çok önemlidir .

Makine öğrenimi hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, çalışan profesyoneller için tasarlanmış ve 450+ saat zorlu eğitim, 30'dan fazla vaka çalışması ve ödev, IIIT- sunan IIIT-B & upGrad'ın Makine Öğrenimi ve Yapay Zeka PG Diplomasına göz atın. B Mezun statüsü, 5+ pratik uygulamalı bitirme projesi ve en iyi firmalarla iş yardımı.