المعامل ذو الحدين: التعريفات والتنفيذ والاستخدام

مقدمة

في الإحصاء ، تُستخدم المعاملات ذات الحدين بشكل رئيسي جنبًا إلى جنب مع التوزيعات. ولكن ، هناك المزيد عند تطبيقها على الخوارزميات الحسابية. يتم استخدامها على نطاق واسع في مجال التعلم الآلي الإحصائي وكذلك البرمجة الديناميكية. الفكرة الأساسية حول المعاملات ذات الحدين مشتقة من التوزيع ذي الحدين. يتم استخدام المعاملات في نظرية ذات الحدين ، وبالتالي الاسم.

في المقام الأول ، المعاملات ذات الحدين لها تعريفان. وهم على النحو التالي:

1. المعاملات ذات الحدين لإيجاد التوليفات

تُستخدم المعاملات ذات الحدين للعثور على عدد من الطرق لتحديد عدد معين من الكائنات من مجموعة الكائنات المتوفرة. إحصائيًا ، يمكن أن يساعد المعامل ذي الحدين في العثور على عدد الطرق التي يمكن بها اختيار الكائنات y من إجمالي x كائنات. عدد المجموعات الفرعية للعنصر y من x.

الصيغة مشتقة على النحو التالي:

لاختيار المجموعات الفرعية للعنصر y من كائنات x ، يكون المعامل ذي الحدين أو المجموعات الممكنة هي xCy = x! / ص! * (س ص)!

قد تكون هذه الطريقة مفيدة بشكل لا يصدق مع الاضطرار إلى معرفة عدد التركيبات الممكنة من مجموعة كبيرة من الكائنات. لكن أين ينطبق هذا؟

مثال

تخيل أن هناك فصلًا به 15 طالبًا. إذا كنت بحاجة إلى تحديد فريق من 7 طلاب للمنافسة ، فأنت بحاجة إلى معرفة المجموعات الممكنة. أثناء استخدام صيغة المعاملات ذات الحدين ، يمكن حساب الإجابة بسهولة.

مجموع المجموعات = 15! / 7! * (15-7)! = 15! / 7! * 8!

العديد من الحالات الأخرى أكثر تعقيدًا بكثير ، حيث يتم استخدام المعاملات ذات الحدين . على سبيل المثال ، اختيار حزب سياسي للانتخابات ، أو بشكل أكثر تحديدًا نقابة. تخيل أن هناك مشروع قانون تم تمريره ، وأنت سوط الأغلبية للحزب الحاكم. تحتاج إلى تحديد الأصوات الموجودة وعدد الأعضاء المطلوب للتصويت لمشروع القانون. يجب أن يكون الأعضاء من الحزب الحاكم وكذلك من الحزب المعارض. يمكن تطبيق عمليات التوليف للعثور على الأعضاء لطلب الأصوات منهم.

اقرأ عن: 13 فكرة مثيرة للاهتمام لمشروع هيكل البيانات وموضوعات للمبتدئين

2. معاملات ذات الحدين للتوزيع

هذا التعريف أكثر رسمية وإحصائية. إنه يعني إيجاد معاملات توسع كثير الحدود. لتوضيح الأمر ببساطة ، يمكن تعريف المعامل ذي الحدين C (a ، b) على أنه معامل x ^ b بالصيغة الموزعة (x + 1) ^ a.

دعونا نفهم هذا بمثال.

مثال

على سبيل المثال ، تريد توسيع كثير الحدود لـ (x + 1) ^ 2. إذا قارناه بتعريفنا ، فسنحصل على أ = 2 و ب = 0،1،2.

من خلال الحساب اليدوي نعلم أن توسيع (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1. ولكن كيف يتم حساب هذه المعاملات؟

دعونا نطبق الصيغة:

معامل x ^ 0 = C (2،0)

معامل x ^ 1 = C (2،1)

معامل x ^ 2 = C (2،2)

ومن ثم ، يمكن كتابة التوسع على النحو التالي: C (2،0) x ^ 0 + C (2،1) x ^ 1 + C (2،2) x ^ 2

الصيغة تبقى كما هي. ج (أ ، ب) = أ! / ب! * (أب)!

بتطبيق نفس الصيغة هنا ، C (2،0) = 2! / 0! * (2-0)! = 1

ج (2،1) = 2! / 1! * (2-1)! = 2

ج (2،2) = 2! / 2! * (2-2)! = 1

الآن ، إذا عوضنا بهذه القيم في التوسع ، فسنحصل على x ^ 2 + 2x + 1.

إنها الإجابة الدقيقة التي طلبناها. نظرًا لأن هذا كان توسيعًا أصغر ، فقد تشعر أن طريقة الضرب البسيطة أفضل. لكن ماذا لو احتجت إلى حساب الصيغة الموسعة لـ (x + 1) ^ 17؟

لا توجد طريقة يمكنك من خلالها مضاعفة هذا العدد عدة مرات ، وستكون مهمة شاقة. ولكن مع مفهوم المعاملات ذات الحدين ، تصبح المهمة بسيطة.

قراءة: مفهوم دالة بايثون التكرارية: دروس بايثون للمبتدئين

تنفيذ بايثون

قبل تنفيذ صيغة إيجاد المعاملات ذات الحدين ، من الضروري ملاحظة بعض النقاط. هناك جزءان مطلوبان لتنفيذ الوظيفة. واحد هو البنية التحتية ، والثاني هو وظيفة لتكرار البنى التحتية.

للعثور بشكل متكرر على قيمة C (أ ، ب) ، يمكننا استخدام البنية التحتية التالية:

ج (أ ، 0) وج (أ ، أ) = 1

ج (أ ، ب) = ج (أ -1 ، ب) + ج (أ -1 ، ب -1)

باستخدام هاتين الصيغتين ، يمكن تنفيذ دالة تكرارية. هل لاحظ أنه في درجة أعلى من التوسع ، سيتم تكرار العديد من البنى التحتية. يمكن أن يزيد من وقت الحساب إذا تكررت الحسابات دون داع. وبالتالي ، من أجل التنفيذ الفعال ، من المهم الاحتفاظ بقاموس مع جميع الحسابات السابقة.

هذا النوع من التنفيذ له تعقيد زمني لـ O (أ * ب). يختلف تعقيد المساحة وفقًا للتنفيذ ولكن يمكن قصره على O (b).

إذا كنت تستخدم Python ولا تريد تنفيذ الوظيفة بنفسك ، فيمكنك استخدام مكتبة Python SciPy. الوحدة الخاصة في SciPy لها دالة binom (). إليك كيفية استخدامه:

ما عليك سوى كتابة scipy.special.binom (a، b) وستوفر القيمة لنفسه. على سبيل المثال ، scipy.special.binom (4،3) ؛ سوف يعطي الناتج - 4.0

إستعمال

تم بالفعل مناقشة الاستخدامات الأولية للمعاملات ذات الحدين أعلاه. تُستخدم المعاملات ذات الحدين للتحليل وكذلك الأساس للتوزيع ذي الحدين. استخدام أقل شهرة هو أن المعاملات ذات الحدين تمثل المدخلات في مثلث باسكال. هذه الأنواع من الأسباب الإحصائية تجعل المعاملات ذات الحدين ضرورية للفهم.

راجع أيضًا: التوزيع ذي الحدين في بايثون مع أمثلة من العالم الحقيقي

خاتمة

لذلك ، كان هذا كله يتعلق بالمعاملات ذات الحدين من وجهة نظر إحصائية وتنفيذية. ناقشنا التعريفين للمعاملات ذات الحدين ، للتركيبات ولحساب معاملات التمدد. كما تمت مناقشة إستراتيجية التنفيذ وتنفيذ المكتبة.

هناك العديد من التطبيقات الإحصائية للمعاملات ذات الحدين ، خاصةً عند رؤيتها مع التوزيعات. وبالتالي ، من الضروري التعرف على المعاملات ذات الحدين قبل التوجه نحو المفاهيم المتقدمة القائمة على الإحصاء مثل التعلم الآلي الأساسي وخوارزميات التحليل.

إذا كنت مهتمًا بمعرفة المزيد حول التعلم الآلي ، فراجع دبلوم PG في IIIT-B & upGrad في التعلم الآلي والذكاء الاصطناعي المصمم للمهنيين العاملين ويقدم أكثر من 450 ساعة من التدريب الصارم ، وأكثر من 30 دراسة حالة ومهمة ، IIIT- حالة الخريجين B ، أكثر من 5 مشاريع تتويجا عملية ومساعدة وظيفية مع أفضل الشركات.