Coeficiente Binomial: Definições, Implementação e Uso

Introdução

Em estatística, os coeficientes binomiais são usados ​​principalmente junto com as distribuições. Mas, há mais para eles quando aplicados a algoritmos computacionais. Eles são usados ​​extensivamente no campo do aprendizado de máquina estatístico, bem como na programação dinâmica. A ideia mais básica sobre coeficientes binomiais é derivada de uma distribuição binomial. Os coeficientes são usados ​​no teorema binomial e, portanto, o nome.

Principalmente, os coeficientes binomiais têm duas definições. Eles são os seguintes:

1. Coeficientes Binomiais para Encontrar Combinações

Coeficientes binomiais são usados ​​para encontrar o número de maneiras de selecionar um certo número de objetos do conjunto de objetos fornecido. Estatisticamente, um coeficiente binomial pode ajudar a encontrar o número de maneiras pelas quais y objetos podem ser selecionados de um total de x objetos. O número de subconjuntos de elementos y de x.

A fórmula é derivada como:

Para selecionar os subconjuntos de elementos y de objetos x, o coeficiente binomial ou combinações possíveis são xCy = x! /s! * (x)!

Esse método pode ser incrivelmente útil ao ter que descobrir o número de combinações possíveis de um grande conjunto de objetos. Mas onde isso se aplica?

Exemplo

Imagine que há uma classe com 15 alunos. Se você precisa selecionar uma equipe de 7 alunos para uma competição, precisa descobrir as combinações possíveis. Ao usar a fórmula dos coeficientes binomiais , a resposta pode ser calculada facilmente.

O total de combinações = 15! / 7! * (15-7)! = 15! / 7! * 8!

Muitos outros casos são muito mais complicados, nos quais são usados ​​coeficientes binomiais . Por exemplo, escolher um partido político para eleições ou, mais especificamente, um sindicato. Imagine que há um projeto de lei a ser aprovado e você é o líder da maioria do partido no poder. Você precisa decidir quais votos existem e quantos membros serão obrigados a votar no projeto de lei. Os membros precisam ser do partido no poder e da oposição. A combinatória pode ser aplicada para encontrar os membros de quem pedir os votos.

Leia sobre: ​​13 ideias e tópicos interessantes de projetos de estrutura de dados para iniciantes

2. Coeficientes Binomiais para Distribuição

Esta definição é mais formal e estatística. Significa encontrar os coeficientes de uma expansão polinomial. Simplificando, o coeficiente binomial C(a, b) pode ser definido como o coeficiente de x^b na forma distribuída de (x+1)^a.

Vamos entender isso com um exemplo.

Exemplo

Por exemplo, você quer uma expansão polinomial de (x+1)^2. Se compararmos com nossa definição, obtemos a=2 eb=0,1,2.

Pelo cálculo manual sabemos que a expansão de (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1. Mas, como esses coeficientes são calculados?

Vamos aplicar a fórmula:

O coeficiente de x^0 = C(2,0)

O coeficiente de x^1 = C(2,1)

O coeficiente de x^2 = C(2,2)

Assim, a expansão pode ser escrita como: C(2,0)x^0 + C(2,1)x^1 + C(2,2)x^2

A fórmula continua a mesma. C(a,b) = a! /b! * (ab)!

Aplicando a mesma fórmula aqui, C(2,0) = 2! / 0! * (2-0)! = 1

C(2,1) = 2! / 1! * (2-1)! = 2

C(2,2) = 2! / 2! * (2-2)! = 1

Agora, se substituirmos esses valores na expansão, obtemos x^2 + 2x + 1.

É a resposta exata que exigimos. Como esta foi uma expansão menor, você pode sentir que a forma simples de multiplicação é melhor. Mas e se você precisar calcular a forma expandida de (x+1)^17?

Não há como você multiplicar tantas vezes, e será um trabalho cansativo. Mas, com o conceito de coeficientes binomiais , o trabalho se torna simples.

Leia: Conceito de função recursiva do Python: Tutorial do Python para iniciantes

Implementação do Python

Antes de implementar a fórmula para encontrar os coeficientes binomiais , é necessário observar alguns pontos. Há duas partes necessárias para implementar a função. Uma é a subestrutura e a segunda é uma função para repetir as subestruturas.

Para encontrar recursivamente o valor de C(a, b), podemos usar a seguinte subestrutura:

C(a, 0) e C(a, a) = 1

C(a, b) = C(a-1, b) + C(a-1, b-1)

Usando essas duas fórmulas, uma função recursiva pode ser implementada. Observe que em um grau mais alto de expansão, muitas das subestruturas seriam repetidas. Pode aumentar o tempo de computação se os cálculos forem repetidos desnecessariamente. Portanto, para uma implementação efetiva, é importante manter um dicionário com todos os cálculos anteriores.

Este tipo de implementação tem uma complexidade de tempo de O(a*b). A complexidade do espaço varia de acordo com a implementação, mas pode ser restrita a O(b).

Se você estiver usando Python e não quiser implementar a função você mesmo, você pode usar a biblioteca SciPy do Python. O módulo especial no SciPy tem a função binom(). Aqui está como ele pode ser usado:

Basta digitar, scipy.special.binom(a, b) e ele fornecerá o valor para o mesmo. Por exemplo, scipy.special.binom(4,3); dará a saída – 4.0

Uso

Os usos primários de coeficientes binomiais já foram discutidos acima. Coeficientes binomiais são usados ​​para análise, bem como a base para a distribuição binomial. Um uso menos conhecido é que os coeficientes binomiais representam as entradas no triângulo de Pascal. Esses tipos de razões estatísticas tornam os coeficientes binomiais necessários para entender.

Confira também: Distribuição Binomial em Python com Exemplos do Mundo Real

Conclusão

Então, isso foi tudo sobre coeficientes binomiais do ponto de vista estatístico e de implementação. Discutimos as duas definições de coeficientes binomiais , para combinações e para cálculo de coeficientes de expansão. A estratégia de implementação, bem como a implementação da biblioteca, foi discutida.

Existem muitas outras aplicações estatísticas para coeficientes binomiais , especialmente quando eles são vistos com as distribuições. E, portanto, é crucial aprender sobre os coeficientes binomiais antes de seguir para conceitos avançados baseados em estatísticas, como aprendizado de máquina principal e algoritmos de análise.

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