Koefisien Binomial: Definisi, Implementasi & Penggunaan

pengantar

Dalam statistik, koefisien binomial sebagian besar digunakan bersama dengan distribusi. Tapi, ada lebih dari itu ketika diterapkan pada algoritma komputasi. Mereka digunakan secara luas di bidang pembelajaran mesin statistik serta pemrograman dinamis. Ide paling dasar tentang koefisien binomial diturunkan dari distribusi binomial. Koefisien digunakan dalam teorema binomial, dan karenanya, namanya.

Terutama, koefisien binomial memiliki dua definisi. Mereka adalah sebagai berikut:

1. Koefisien Binomial untuk Mencari Kombinasi

Koefisien binomial digunakan untuk menemukan banyak cara untuk memilih sejumlah objek tertentu dari kumpulan objek yang disediakan. Secara statistik, koefisien binomial dapat membantu menemukan banyaknya cara y objek dapat dipilih dari total x objek. Banyaknya subset elemen y dari x.

Rumusnya diturunkan sebagai:

Untuk memilih himpunan bagian elemen y dari objek x, koefisien binomial atau kombinasi yang mungkin adalah xCy = x! / y! * (x)!

Metode ini bisa sangat berguna saat harus mencari tahu jumlah kombinasi yang mungkin dari kumpulan objek yang besar. Tapi di mana ini berlaku?

Contoh

Bayangkan ada kelas dengan 15 siswa. Jika Anda perlu memilih tim yang terdiri dari 7 siswa untuk sebuah kompetisi, Anda perlu mencari tahu kemungkinan kombinasinya. Sementara menggunakan rumus koefisien binomial , jawabannya bisa dihitung dengan mudah.

Jumlah kombinasi = 15! / 7! * (15-7)! = 15! / 7! * 8!

Banyak kasus lain yang jauh lebih rumit, di mana koefisien binomial digunakan. Misalnya, memilih partai politik untuk pemilu, atau lebih tepatnya sindikat. Bayangkan ada RUU yang harus disahkan, dan Anda adalah mayoritas cambuk untuk partai yang berkuasa. Anda perlu memutuskan suara mana yang ada dan berapa banyak anggota yang akan diminta untuk memilih RUU tersebut. Anggotanya harus dari penguasa dan juga dari partai oposisi. Kombinatorik dapat diterapkan untuk menemukan anggota yang akan dimintai suara.

Baca Tentang: 13 Ide dan Topik Proyek Struktur Data Menarik Untuk Pemula

2. Koefisien Binomial untuk Distribusi

Definisi ini lebih formal dan statistik. Ini berarti menemukan koefisien ekspansi polinomial. Sederhananya, koefisien binomial C(a, b) dapat didefinisikan sebagai koefisien x^b dalam bentuk terdistribusi (x+1)^a.

Mari kita memahami ini dengan sebuah contoh.

Contoh

Misalnya, Anda menginginkan ekspansi polinomial (x+1)^2. Jika kita membandingkannya dengan definisi kita, kita mendapatkan a=2 dan b=0,1,2.

Dengan perhitungan manual kita tahu bahwa ekspansi (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1. Tapi, bagaimana koefisien itu dihitung?

Mari kita terapkan rumusnya:

Koefisien dari x^0 = C(2,0)

Koefisien x^1 = C(2,1)

Koefisien x^2 = C(2,2)

Oleh karena itu, ekspansi dapat ditulis sebagai: C(2,0)x^0 + C(2,1)x^1 + C(2,2)x^2

Formulanya tetap sama. C(a,b) = a! / B! * (ab)!

Menerapkan rumus yang sama di sini, C(2,0) = 2! / 0! * (2-0)! = 1

C(2,1) = 2! / 1! * (2-1)! = 2

C(2,2) = 2! / 2! * (2-2)! = 1

Sekarang, jika kita mengganti nilai-nilai ini dalam ekspansi, kita mendapatkan x^2 + 2x + 1.

Ini adalah jawaban tepat yang kami butuhkan. Karena ini adalah ekspansi yang lebih kecil, Anda mungkin merasa bahwa cara perkalian sederhana lebih baik. Tapi, bagaimana jika Anda perlu menghitung bentuk diperluas dari (x+1)^17?

Tidak mungkin Anda bisa melipatgandakannya berkali-kali, dan itu akan menjadi pekerjaan yang melelahkan. Namun, dengan konsep koefisien binomial , pekerjaannya menjadi sederhana.

Baca: Konsep Fungsi Rekursif Python: Tutorial Python untuk Pemula

Implementasi Python

Sebelum menerapkan rumus untuk mencari koefisien binomial , perlu diperhatikan beberapa hal. Ada dua bagian yang diperlukan untuk mengimplementasikan fungsi tersebut. Salah satunya adalah substruktur, dan yang kedua adalah fungsi untuk mengulang substruktur.

Untuk mencari nilai C(a, b) secara rekursif, kita dapat menggunakan substruktur berikut:

C(a, 0) dan C(a, a) = 1

C(a, b) = C(a-1, b) + C(a-1, b-1)

Dengan menggunakan dua rumus ini, fungsi rekursif dapat diimplementasikan. Perhatikan bahwa pada tingkat ekspansi yang lebih tinggi, banyak substruktur akan diulang. Hal ini dapat meningkatkan waktu komputasi jika perhitungan diulang secara tidak perlu. Oleh karena itu, untuk implementasi yang efektif, penting untuk memelihara kamus dengan semua perhitungan sebelumnya.

Jenis implementasi ini memiliki kompleksitas waktu O(a*b). Kompleksitas ruang bervariasi sesuai dengan implementasi tetapi dapat dibatasi untuk O(b).

Jika Anda menggunakan Python dan tidak ingin mengimplementasikan fungsinya sendiri, Anda dapat menggunakan library Python SciPy. Modul khusus di SciPy memiliki fungsi binom(). Berikut adalah bagaimana hal itu dapat digunakan:

Cukup ketik, scipy.special.binom(a, b) dan itu akan memberikan nilai yang sama. Misalnya, scipy.special.binom(4,3); akan memberikan output – 4.0

Penggunaan

Penggunaan utama koefisien binomial telah dibahas di atas. Koefisien binomial digunakan untuk analisis serta dasar untuk distribusi binomial. Penggunaan yang kurang dikenal adalah bahwa koefisien binomial mewakili entri dalam segitiga Pascal. Jenis alasan statistik ini membuat koefisien binomial perlu dipahami.

Lihat Juga: Distribusi Binomial di Python dengan Contoh Dunia Nyata

Kesimpulan

Jadi, ini semua tentang koefisien binomial dari sudut pandang statistik dan implementasi. Kami membahas dua definisi koefisien binomial , untuk kombinasi dan untuk menghitung koefisien ekspansi. Strategi implementasi, serta implementasi perpustakaan, dibahas.

Masih banyak lagi aplikasi statistik untuk koefisien binomial , terutama jika dilihat dengan distribusinya. Dan karenanya, sangat penting untuk mempelajari tentang koefisien binomial sebelum menuju ke konsep berbasis statistik lanjutan seperti pembelajaran mesin inti dan algoritma analisis.

Jika Anda tertarik untuk mempelajari lebih lanjut tentang pembelajaran mesin, lihat PG Diploma IIIT-B & upGrad dalam Pembelajaran Mesin & AI yang dirancang untuk para profesional yang bekerja dan menawarkan 450+ jam pelatihan ketat, 30+ studi kasus & tugas, IIIT- B Status alumni, 5+ proyek batu penjuru praktis & bantuan pekerjaan dengan perusahaan-perusahaan top.