Coeficient binomial: definiții, implementare și utilizare

Introducere

În statistică, coeficienții binomi sunt utilizați în principal împreună cu distribuțiile. Dar, există mai mult la ele atunci când sunt aplicate algoritmilor de calcul. Ele sunt utilizate pe scară largă în domeniul învățării automate statistice, precum și al programării dinamice. Cea mai de bază idee despre coeficienții binomii este derivată dintr-o distribuție binomială. Coeficienții sunt utilizați în teorema binomială și, prin urmare, numele.

În primul rând, coeficienții binomi au două definiții. Acestea sunt după cum urmează:

1. Coeficienți binomii pentru găsirea combinațiilor

Coeficienții binomi sunt utilizați pentru a găsi numărul de moduri de a selecta un anumit număr de obiecte din grupul de obiecte furnizat. Statistic, un coeficient binomial poate ajuta la găsirea numărului de moduri în care y obiecte pot fi selectate dintr-un total de x obiecte. Numărul de subseturi de elemente y din x.

Formula este derivată ca:

Pentru selectarea submulților de elemente y din x obiecte, coeficientul binomial sau combinațiile posibile sunt xCy = x! / y! * (X y)!

Această metodă ar putea fi incredibil de utilă în timp ce trebuie să-ți dai seama de numărul de combinații posibile dintr-un mare grup de obiecte. Dar unde se aplică acest lucru?

Exemplu

Imaginează-ți că există o clasă cu 15 elevi. Dacă trebuie să selectați o echipă de 7 studenți pentru o competiție, trebuie să vă dați seama de combinațiile posibile. În timp ce se folosește formula coeficienților binomi , răspunsul ar putea fi calculat cu ușurință.

Combinațiile totale = 15! / 7! * (15-7)! = 15! / 7! *8!

Multe alte cazuri sunt mult mai complicate, în care se folosesc coeficienți binomi . De exemplu, alegerea unui partid politic pentru alegeri sau, mai precis, a unui sindicat. Imaginează-ți că trebuie adoptat un proiect de lege și tu ești biciul majoritar al partidului de guvernământ. Trebuie să decideți ce voturi există și câți membri vor fi obligați să voteze pentru proiectul de lege. Membrii trebuie să fie din partea partidului de guvernământ și de opoziție. Combinatoria poate fi aplicată pentru a găsi membrii de la care să ceară voturile.

Citiți despre: 13 idei și subiecte interesante de proiecte cu structură de date pentru începători

2. Coeficienți binomi de distribuție

Această definiție este mai formală și mai statistică. Înseamnă găsirea coeficienților unei expansiuni polinomiale. Pentru a spune simplu, coeficientul binom C(a, b) poate fi definit ca coeficientul lui x^b în forma distribuită a lui (x+1)^a.

Să înțelegem asta printr-un exemplu.

Exemplu

De exemplu, doriți o expansiune polinomială de (x+1)^2. Dacă o comparăm cu definiția noastră, obținem a=2 și b=0,1,2.

Prin calcul manual știm că expansiunea lui (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1. Dar, cum se calculează acești coeficienți?

Să aplicăm formula:

Coeficientul lui x^0 = C(2,0)

Coeficientul lui x^1 = C(2,1)

Coeficientul lui x^2 = C(2,2)

Prin urmare, expansiunea poate fi scrisă ca: C(2,0)x^0 + C(2,1)x^1 + C(2,2)x^2

Formula rămâne aceeași. C(a,b) = a! / b! * (ab)!

Aplicând aceeași formulă aici, C(2,0) = 2! / 0! * (2-0)! = 1

C(2,1) = 2! / 1! * (2-1)! = 2

C(2,2) = 2! / 2! * (2-2)! = 1

Acum, dacă înlocuim aceste valori în expansiune, obținem x^2 + 2x + 1.

Este exact răspunsul pe care l-am cerut. Deoarece aceasta a fost o expansiune mai mică, este posibil să simțiți că modalitatea simplă de multiplicare este mai bună. Dar, ce se întâmplă dacă trebuie să calculați forma extinsă a lui (x+1)^17?

Nu ai cum să înmulți atât de multe ori și va fi o muncă obositoare. Dar, cu conceptul de coeficienți binomi , treaba devine simplă.

Citiți: Conceptul funcției recursive Python: Tutorial Python pentru începători

Implementarea Python

Înainte de a implementa formula de găsire a coeficienților binomi , este necesar să notăm câteva puncte. Există două părți necesare pentru implementarea funcției. Unul este substructura, iar al doilea este o funcție de repetare a substructurilor.

Pentru a găsi recursiv valoarea lui C(a, b), putem folosi următoarea substructură:

C(a, 0) și C(a, a) = 1

C(a, b) = C(a-1, b) + C(a-1, b-1)

Folosind aceste două formule, ar putea fi implementată o funcție recursivă. Rețineți că la un grad mai mare de expansiune, multe dintre substructuri s-ar repeta. Ar putea crește timpul de calcul dacă calculele sunt repetate inutil. Prin urmare, pentru o implementare eficientă, este important să se mențină un dicționar cu toate calculele anterioare.

Acest tip de implementare are o complexitate de timp de O(a*b). Complexitatea spațiului variază în funcție de implementare, dar poate fi limitată la O(b).

Dacă utilizați Python și nu doriți să implementați singur funcția, puteți utiliza biblioteca Python SciPy. Modulul special din SciPy are funcția binom(). Iată cum poate fi folosit:

Doar introduceți, scipy.special.binom(a, b) și va furniza valoarea pentru același lucru. De exemplu, scipy.special.binom(4,3); va da ieșirea – 4.0

Utilizare

Utilizările primare ale coeficienților binomi au fost deja discutate mai sus. Coeficienții binomi sunt utilizați pentru analiză, precum și baza pentru distribuția binomială. O utilizare mai puțin cunoscută este aceea că coeficienții binomi reprezintă intrările din triunghiul lui Pascal. Aceste tipuri de motive statistice fac coeficienții binomi necesari de înțeles.

De asemenea, verificați: Distribuție binomială în Python cu exemple din lumea reală

Concluzie

Deci, totul a fost vorba despre coeficienți binomi din punct de vedere statistic și al implementării. Am discutat cele două definiții ale coeficienților binomi , pentru combinații și pentru calcularea coeficienților de expansiune. S-a discutat strategia de implementare, precum și implementarea bibliotecii.

Există multe mai multe aplicații statistice pentru coeficienții binomi , mai ales când sunt văzute cu distribuțiile. Și, prin urmare, este esențial să învățați despre coeficienții binomii înainte de a vă îndrepta către concepte avansate bazate pe statistici, cum ar fi algoritmii de bază de învățare automată și de analiză.

Dacă sunteți interesat să aflați mai multe despre învățarea automată, consultați Diploma PG de la IIIT-B și upGrad în Învățare automată și AI, care este concepută pentru profesioniști care lucrează și oferă peste 450 de ore de pregătire riguroasă, peste 30 de studii de caz și sarcini, IIIT- B Statut de absolvenți, peste 5 proiecte practice practice și asistență pentru locuri de muncă cu firme de top.