Introdução às Cadeias de Markov: Pré-requisitos, Propriedades e Aplicações

Já passou pela sua cabeça como meteorologistas especialistas fazem uma previsão precisa do tempo ou como o Google classifica diferentes páginas da web? Como eles fazem os fascinantes aplicativos python no mundo real. Esses cálculos são complexos e envolvem diversas variáveis ​​que são dinâmicas e podem ser resolvidas usando estimativas de probabilidade.

Quando o Google introduziu seu algoritmo PageRank, revolucionou a indústria da web. E se você estiver familiarizado com esse algoritmo, também deve saber que ele usa cadeias de Markov. Em nossa introdução às cadeias de Markov, vamos dar uma breve olhada nelas e entender o que são. Então vamos começar.

Pré-requisitos

É essencial conhecer alguns conceitos antes de começarmos a discutir as cadeias de Markov. E a maioria deles são da teoria da probabilidade. Não matematicamente, você pode definir o valor de uma variável aleatória como resultado de um evento aleatório. Assim, por exemplo, se a variável fosse o resultado do lançamento de um dado, seria um número, enquanto se fosse o resultado de um lançamento de moeda, seria um booleano (0 ou 1). O conjunto desses resultados possíveis pode ser contínuo ou discreto.

Assim, podemos dizer que um processo estocástico é uma coleção de variáveis ​​aleatórias que definem índices. Esse conjunto representa diferentes instâncias de tempo. Esse conjunto pode ser de números reais (processo contínuo) ou de números naturais (processo discreto).

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Introdução às Cadeias de Markov

Cadeias de Markov recebem o nome de Andrey Markov, que trouxe esse conceito pela primeira vez em 1906. Cadeias de Markov referem-se a processos estocásticos que contêm variáveis ​​aleatórias, e essas variáveis ​​transitam de um estado para outro de acordo com regras e suposições de probabilidade.

Quais são essas regras e suposições probabilísticas, você pergunta? Essas são chamadas de Propriedades de Markov. Aprender mais sobre Cadeia de Markov no Tutorial Python

O que é a propriedade de Markov?

Existem muitos grupos de processos aleatórios, como modelos autorregressivos e processos gaussianos. A propriedade de Markov facilita bastante o estudo desses processos aleatórios. Uma propriedade de Markov afirma que não obteríamos mais informações sobre os resultados futuros de um processo aumentando nosso conhecimento sobre seu passado se conhecêssemos seu valor em um determinado momento.

Uma definição mais elaborada seria: a propriedade de Markov diz que a probabilidade de um processo estocástico depende apenas de seu estado atual e do tempo, e é independente dos outros estados que tinha antes. É por isso que é uma propriedade sem memória, pois depende apenas do estado atual do processo.

Uma cadeia de Markov de tempo discreto homogênea é um processo de Marko que possui espaço e tempo de estados discretos. Podemos dizer que uma cadeia de Markov é uma série discreta de estados e possui a propriedade de Markov.

Aqui está a representação matemática de uma cadeia de Markov:

X = ( X n ) n N =( X 0 , X 1 , X 2 , …)

Propriedades das Cadeias de Markov

Vamos dar uma olhada nas características fundamentais das cadeias de Markov para entendê-las melhor. Não nos aprofundaremos muito neste tópico, pois o objetivo deste artigo é familiarizá-lo com o conceito geral de cadeias de Markov.

Redutibilidade

As cadeias de Markov são irredutíveis. Isso significa que eles não têm redutibilidade se podem atingir qualquer estado de outro estado. A cadeia não precisa alcançar um estado de outro em apenas uma única etapa de tempo; pode fazê-lo em várias etapas de tempo. Se pudermos representar a cadeia com um grafo, então o grafo estará firmemente conectado.

Aperiódico

Digamos que o período de um estado seja k. Se k = 1, então este estado é aperiódico quando qualquer tipo de retorno ao seu estado requer algum múltiplo de k passos de tempo. Quando todos os estados de uma cadeia de Markov são aperiódicos, então podemos dizer que a cadeia de Markov é aperiódica.

Estados transitórios e recorrentes

Quando você sai de um estado, e há uma probabilidade de que você não possa retornar a ele, dizemos que o estado é transitório. Por outro lado, se pudermos retornar a um estado com probabilidade 1, depois de sairmos dele, podemos dizer que a propriedade é recorrente.

Existem dois tipos de estados recorrentes que podemos ter. O primeiro é o estado recorrente positivo que tem um tempo de retorno esperado finito, e o segundo é o estado recorrente nulo que tem um tempo de retorno esperado infinito. O tempo de retorno esperado refere-se ao tempo médio de recorrência quando estamos saindo do estado.

Aplicações das Cadeias de Markov

As cadeias de Markov encontram aplicações em muitas áreas. Aqui estão suas aplicações proeminentes:

• O algoritmo PageRank do Google trata a web como um modelo de Markov. Você pode dizer que todas as páginas da web são estados e os links entre eles são transições que possuem probabilidades específicas. Em outras palavras, podemos dizer que não importa o que você esteja pesquisando no Google, há uma probabilidade finita de você terminar em uma determinada página da web.
• Se você usa o Gmail, deve ter notado o recurso de preenchimento automático. Esse recurso prevê automaticamente suas frases para ajudá-lo a escrever e-mails rapidamente. As cadeias de Markov ajudam consideravelmente nesse setor, pois podem fornecer previsões desse tipo de maneira eficaz.
• Você já ouviu falar do Reddit? É uma plataforma de mídia social significativa repleta de subreddits (um nome para comunidades no Reddit) de tópicos específicos. O Reddit usa cadeias e modelos de Markov para simular subreddits para uma melhor compreensão do mesmo.

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Pensamentos finais

Parece que chegamos ao fim de nossa introdução às cadeias de Markov. Esperamos que você tenha achado este artigo útil. Se você tiver dúvidas ou perguntas, sinta-se à vontade para compartilhá-las conosco através dos comentários. Adoraríamos ouvir de você.

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