マルコフ連鎖の紹介:前提条件、プロパティ、アプリケーション

公開: 2020-04-14

専門の気象学者が天気を正確に予測する方法や、Googleがさまざまなウェブページをランク付けする方法に頭を悩ませたことはありませんか? 彼らが現実の世界で魅力的なPythonアプリケーションをどのように作成するか。 これらの計算は複雑であり、動的であり、確率推定を使用して解くことができるいくつかの変数が含まれます。

GoogleがPageRankアルゴリズムを導入したとき、それはWeb業界に革命をもたらしました。 また、そのアルゴリズムに精通している場合は、マルコフ連鎖を使用していることも知っておく必要があります。 マルコフ連鎖の紹介では、それらを簡単に見て、それらが何であるかを理解します。 それでは、始めましょう。

目次

前提条件

マルコフ連鎖について議論する前に、いくつかの概念を知っておくことが重要です。 そしてそれらのほとんどは確率論からのものです。 非数学的には、ランダムイベントの結果として確率変数の値を定義できます。 したがって、たとえば、変数がサイコロを振った結果である場合は数値になり、コイントスの結果である場合はブール値(0または1)になります。 これらの可能な結果のセットは、離散的であると同時に連続的である可能性があります。

したがって、確率過程は、インデックスを設定する確率変数のコレクションであると言えます。 そのセットは、さまざまな時間インスタンスを表します。 このセットは、実数(連続プロセス)または自然数(離散プロセス)の場合があります。

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マルコフ連鎖の紹介

マルコフ連鎖の名前は、1906年に初めてこの概念を提起したアンドレイマルコフに由来します。マルコフ連鎖は、ランダム変数を含む確率過程を指し、これらの変数は、確率規則と仮定に従って状態から別の状態に遷移します。

それらの確率的なルールと仮定は何ですか、あなたは尋ねますか? それらはマルコフ性と呼ばれます。 詳細については Pythonチュートリアルのマルコフ連鎖

マルコフ性とは何ですか?

自己回帰モデルやガウス過程など、ランダム過程のグループはたくさんあります。 マルコフ性により、これらのランダムプロセスの研究が非常に簡単になります。 マルコフ性は、特定の時点でのその価値を知っていれば、過去についての知識を増やすことによって、プロセスの将来の結果についてのより多くの情報を得ることができないと述べています。

より複雑な定義は次のようになります。マルコフ性は、確率過程の確率は現在の状態と時間にのみ依存し、以前の他の状態とは無関係であると述べています。 これが、プロセスの現在の状態にのみ依存するため、メモリレスプロパティである理由です。

同種の離散時間マルコフ連鎖は、離散状態空間と時間をもつマルコプロセスです。 マルコフ連鎖は離散級数の状態であり、マルコフ性を持っていると言えます。

マルコフ連鎖の数学的表現は次のとおりです。

X =( X n n N =( X 0 X 1 X 2 、…)

マルコフ連鎖の性質

マルコフ連鎖の基本的な特徴を見て、それらをよりよく理解しましょう。 この記事の目的は、マルコフ連鎖の一般的な概念を理解してもらうことであるため、このトピックについてはあまり深く掘り下げません。

還元性

マルコフ連鎖は既約です。 つまり、別の状態から任意の状態に到達できる場合、それらには還元性がありません。 チェーンは、たった1つのタイムステップで別の状態から1つの状態に到達する必要はありません。 複数のタイムステップでこれを行うことができます。 チェーンをグラフで表現できれば、グラフはしっかりと繋がっています。

非周期的

州の期間がkであるとしましょう。 k = 1の場合、この状態は非周期的であり、その状態に戻るにはk個のタイムステップの倍数が必要です。 マルコフ連鎖のすべての状態が非周期的である場合、マルコフ連鎖は非周期的であると言えます。

一時的および再発状態

状態を離れて、元に戻れない可能性がある場合、その状態は一時的なものであると言えます。 一方、確率1の状態に戻ることができれば、それを離れた後、そのプロパティは再発していると言えます。

私たちが持つことができる再発状態には2種類あります。 1つ目は、期待収益時間が有限である正の再発状態であり、2つ目は、期待収益時間が無限であるヌル再発状態です。 期待収益時間とは、州を離れるときの平均再発時間を指します。

マルコフ連鎖の応用

マルコフ連鎖は多くの分野で応用されています。 それらの著名なアプリケーションは次のとおりです。

  • GoogleのPageRankアルゴリズムは、ウェブをマルコフモデルのように扱います。 すべてのWebページは状態であり、それらの間のリンクは特定の確率を持つ遷移であると言えます。 言い換えれば、あなたがグーグルで何を検索していても、あなたが特定のウェブページにたどり着く可能性は有限であると言えます。
  • Gmailを使用している場合は、自動入力機能に気付いているはずです。 この機能はあなたの文章を自動的に予測し、あなたが素早くメールを書くのを助けます。 マルコフ連鎖は、この種の予測を効果的に提供できるため、このセクターでかなり役立ちます。
  • Redditについて聞いたことがありますか? これは、特定のトピックのサブレディット(Redditのコミュニティの名前)で満たされた重要なソーシャルメディアプラットフォームです。 Redditは、マルコフ連鎖とモデルを使用してサブレディットをシミュレートし、同じことをよりよく理解します。

詳細:現代生活における言語モデリングの進化

最終的な考え

マルコフ連鎖の紹介は終わりに近づいたようです。 この記事がお役に立てば幸いです。 ご不明な点やご質問がございましたら、コメント欄でお気軽にご連絡ください。 あなたからの御一報をお待ちしています。

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マルコフ連鎖の実際のアプリケーションはありますか?

個別の試行手順を処理するための最も重要なテストの1つは、マルコフ連鎖です。 金融と経済学では、マルコフ連鎖は、市場の暴落や資産価値などのさまざまなイベントを表すために使用されます。 マルコフ連鎖は、生物学、経済学、さらには現実世界のシナリオを含む幅広い学術分野に適用されます。 駐車場には利用可能なスポットの数が決まっていますが、多数の要因または変数の組み合わせに基づくマルコフモデルを使用して、一度に利用できるスポットの数を特徴付けることができます。 マルコフ連鎖は、ダミーのテキスト、長い記事、スピーチを作成するために頻繁に使用されます。

平衡という用語は、マルコフ連鎖に関してどういう意味ですか?

πTP=πTの場合、分布πTは平衡分布と呼ばれます。 均衡とは、マルコフ連鎖を進めてもXtの分布が変化しない状況を指します。 実際、マルコフ連鎖の際立った特徴は、プロセスが現在の状態にどのように到達したかに関係なく、潜在的な将来の状態が固定されていることです。 言い換えれば、任意の状態に移行する可能性は、現在の状態と経過した時間によって完全に決定されます。

マルコフ連鎖は時間的に均質ですか?

任意の2つの時点での2つの特定の状態値間の遷移確率がそれらの時間の差のみに依存している場合、プロセスは時間的に均一です。 マルコフ連鎖が均質または不均質であるための条件があります。 マルコフ連鎖の遷移確率は、それらが時間に依存しない場合にのみ均一であると言われます。 遷移確率は時間とともに変化する可能性がありますが、マルコフ性は不均一なマルコフ連鎖(nhmc)で保持されます。 このセクションでは、シミュレーテッドアニーリングに適用することを目的として、このようなチェーンに変動限界が存在することを保証する基準について説明します。