Wyjaśnienie rozkładu Poissona i procesu Poissona [z przykładami]

Rozkład Poissona to temat z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki popularnej w biznesie i na rynku handlowym. Służy do przewidywania wielkości zmienności od danej średniej częstości występowania w ramach czasowych. Zostało to szczegółowo wyjaśnione w kolejnych sekcjach.

Proces Poissona

Proces Poissona jest szeroko stosowanym procesem stochastycznym do modelowania serii dyskretnych zdarzeń, które występują, gdy znana jest średnia zdarzeń, ale zdarzenia mają miejsce losowo. Ponieważ zdarzenia dzieją się losowo, mogą wystąpić jedno po drugim lub może to być długi czas między dwoma zdarzeniami.

Średni czas wydarzeń jest tylko stały. Na przykład, jeśli wiadomo, że w danym mieście trzęsienie ziemi uderza średnio cztery razy w roku; może to oznaczać, że cztery trzęsienia ziemi mogą wystąpić przez cztery kolejne dni w ciągu jednego roku lub czas między dwoma trzęsieniami ziemi może wynosić siedem miesięcy.

To jest proces Poissona i można obliczyć prawdopodobieństwo każdego zdarzenia.

Ważne jest, aby proces Poissona spełniał następujące kryteria:

• Zdarzenia powinny być od siebie niezależne. Tak więc wystąpienie jednego zdarzenia nie powinno wpływać na prawdopodobieństwo wystąpienia innego zdarzenia.

• Średnia szybkość zdarzeń, tj. zdarzenia na okres czasu są stałe.

• Dwa zdarzenia nie powinny mieć miejsca w tym samym czasie.

Przeczytaj: Rozkład prawdopodobieństwa

Rozkład Poissona

Nazwany na cześć francuskiego matematyka Simeona Denisa Poissona rozkład Poissona jest dyskretnym rozkładem prawdopodobieństwa używanym do przewidywania prawdopodobieństwa wystąpienia określonych zdarzeń, gdy znana jest średnia szybkość zdarzenia. W powyższym przykładzie rozkład Poissona można wykorzystać do przewidzenia prawdopodobieństwa wystąpienia trzęsienia ziemi o określonej porze roku.

Może być również używany do przewidywania wystąpienia zdarzenia w różnych innych określonych odstępach czasu, takich jak powierzchnia, objętość lub odległość.

Funkcja masy prawdopodobieństwa rozkładu Poissona podaje prawdopodobieństwo zaobserwowania k zdarzeń w okresie czasu, gdy podana jest dana długość okresu i średnia liczba zdarzeń w czasie. Wzór wygląda następująco:

P (k zdarzeń w przedziale) = e-λ * λk/k!

Tutaj λ, lambda, jest parametrem szybkości, k jest liczbą wystąpień zdarzenia w danym okresie, e jest liczbą Eulera, a k! jest silnią k.

Na prostym przykładzie możemy zobaczyć, jak obliczyć prawdopodobieństwo. Jeśli średnia liczba trzęsień ziemi nawiedzających miasto wynosi 2 rocznie, obliczmy prawdopodobieństwo, że w następnym roku miasto nawiedzi 3 trzęsienia ziemi.

Tutaj k wynosi 3, λ wynosi 2, a e jest liczbą Eulera, tj. 2,71828. Podstawiając te wartości do powyższego równania, otrzymujemy P równe 0,180. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wynosi 18%. Możemy wywnioskować, że prawdopodobieństwo, że miasto zostanie dotknięte 3 trzęsieniami ziemi w przyszłym roku wynosi 18%.

Właściwości rozkładu Poissona

• Średnia zmiennej losowej o rozkładzie Poissona wynosi λ. To także wartość oczekiwana.
• Wariancja zmiennej losowej o rozkładzie Poissona jest również taka sama jak średnia λ.
• Liczba prób w rozkładzie Poissona może być bardzo duża. Może więc być bliski nieskończoności.
• Stałe prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest minimalne. Jest więc bliski zeru.
• Ponieważ rozkład Poissona charakteryzuje się tylko jednym parametrem λ, znany jest również jako rozkład jednoparametryczny.
• Podobnie jak w przypadku rozkładu dwumianowego, rozkład Poissona może być unimodalny lub bimodalny, w zależności od parametru współczynnika λ. Jeśli jest to liczba niecałkowita, to rozkład będzie jednomodalny, a jeśli jest liczbą całkowitą, to będzie bimodalny.

Przykłady dystrybucji Poissona

Istnieje wiele sektorów, w których rozkład Poissona można wykorzystać do przewidywania prawdopodobieństwa zdarzenia. Znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach nauki, a także jest popularny w sektorze biznesowym. Kilka przykładów podano poniżej.

1. Sprawdzenie ilości produktu potrzebnego przez cały rok. Jeśli firma/supermarket/sklep zna średnią ilość produktów zużywanych w ciągu roku przez swoich klientów, może użyć modelu dystrybucji Poissona, aby przewidzieć, w którym miesiącu produkt sprzedaje więcej. Pomoże im to przechowywać wymaganą ilość produktu i zapobiec jego stratom.

2. Sprawdzanie personelu obsługi klienta. Jeśli firma może obliczyć średnią liczbę połączeń w ciągu dnia, które wymagają więcej niż piętnaście minut na obsłużenie, może użyć modelu do przewidzenia maksymalnej liczby połączeń na godzinę, które wymagają więcej niż piętnaście minut. Obliczając to, mogą ocenić, czy potrzebują więcej pracowników.

3. Może służyć do przewidywania prawdopodobieństwa wystąpienia powodzi, burz i innych klęsk żywiołowych. Jest to możliwe, jeśli znana jest średnia liczba takich katastrof w ciągu roku. Dzięki tym prognozom, wraz z innymi zastosowaniami technologicznymi, możliwe jest uniknięcie strat w ludziach i majątku w wielu krajach lub regionach.

4. Może być również stosowany w sektorach finansowych, ale niekoniecznie zawsze są one dokładne. Może to pomóc w oszacowaniu prawdopodobieństwa wzrostu lub spadku rynków akcji w określonym czasie.

5. Model rozkładu Poissona może być również wykorzystywany w fizyce, biologii, astronomii itp. do przewidywania prawdopodobieństwa przedostania się meteorytów do atmosfery ziemskiej i ich widoczności w poszczególnych regionach świata.

Wniosek

Popularny temat w statystykach, rozkład Poissona, został dokładnie wyjaśniony w różnych sekcjach tego artykułu. Jest to ważny temat do zrozumienia dla studentów i profesjonalistów zainteresowanych nauką o statystyce i prawdopodobieństwie.

Model może być używany w prawdziwym życiu oraz w różnych przedmiotach, takich jak fizyka, biologia, astronomia, biznes, finanse itp., aby oszacować prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, jak wspomniano w przykładach. Podobne tematy z zakresu statystyki, nauki o danych, uczenia maszynowego itp. można znaleźć na upGrad, co pomoże poszerzyć wiedzę i zastosować te koncepcje do różnych problemów.

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o uczeniu maszynowym, sprawdź dyplom PG IIIT-B i upGrad w uczeniu maszynowym i sztucznej inteligencji, który jest przeznaczony dla pracujących profesjonalistów i oferuje ponad 450 godzin rygorystycznego szkolenia, ponad 30 studiów przypadków i zadań, IIIT- Status absolwenta B, ponad 5 praktycznych, praktycznych projektów zwieńczenia i pomoc w pracy z najlepszymi firmami.