Formule de progression arithmétique : tout ce que vous devez savoir

introduction

Une progression arithmétique est une séquence dans laquelle le terme suivant de la séquence est obtenu en ajoutant une constante à chaque terme. La constante ajoutée s'appelle la différence commune. C'est une séquence telle que la différence entre deux termes consécutifs de la séquence est toujours une constante.

Supposons que n 1 , n 2 , n 3 ……..n n sont les

termes d'une séquence de progression arithmétique.

Ensuite, n 2 = n 1 + d, n 3 = n 2 + d et ainsi de suite.

Où n 1 = le premier terme et d est la différence commune

Exemples de progression arithmétique

Vérifiez si la séquence suivante 3, 6, 9, 12, 15 est une progression arithmétique ou non.
Pour que cette séquence soit une séquence de progression arithmétique, la différence commune entre les termes consécutifs doit être constante.

Différence commune (d) = n 2 – n 1 doit être égal à n 3 – n 2 et ainsi de suite.

Dans cette séquence, d = 6 – 3 = 3, 9 – 6 = 3, 12 – 9 = 3 et 15 – 12 = 3.

La différence entre les termes consécutifs est constante. Par conséquent, la séquence ci-dessus est une progression arithmétique.

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Formule de progression arithmétique

Pour comprendre la formule de progression arithmétique , il faut être familier avec les terminologies utilisées dans la formule.

Premier mandat

Comme son nom l'indique, le premier terme est le premier terme de la séquence, qui est généralement représenté par n 1 . Par exemple, dans la séquence 5, 12, 19, 26, 33, le premier terme est 5.

Différence commune

Une différence commune est le nombre fixe qui est ajouté ou soustrait entre deux termes consécutifs (sauf le premier terme) dans la progression arithmétique. Il est noté 'd'.

Par exemple, si n 1 est le premier terme, alors :

n 2 = n 1 + ré

n 3 = n 2 + d et ainsi de suite

Formule de progression arithmétique pour trouver le terme général ou n ème terme

Le terme général ou n ième terme d'une progression arithmétique se trouve par :

N n = une + (n-1) *d

où 'a' est le premier terme et 'd' est une différence commune.

Donc, 1 er terme, N 1 = a + (1-1) *d

2 ème terme, N 2 = a + (2-1) *d

3 ème terme, N 3 = a + (3-1) *d

En calculant 'n' termes dans la formule ci-dessus, nous obtenons la forme générale d'une progression arithmétique.

une, une + d, une + 2d, une + 3d, …… une + (n-1) *d

Formule de progression arithmétique pour trouver la somme

La formule de progression arithmétique pour la somme de 'n' termes où 'a' est le premier terme et 'd' est une différence commune est la suivante.

Lorsque le nième terme est inconnu :

S n = (n/2) * [2a + (n - 1) * ré]

Lorsque le nième terme est connu :

Sn = (n/2) * [une 1 + une n ]

Dérivation de formule

Supposons que 't' soit le nième terme de la série et que S n soit la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique : a, (a + d), (a + 2d), …., a + (n – 1) * ré.

Puis,

Sn = une 1 + une 2 + une 3 + ….une n -1 + une n

En substituant les termes dans la formule ci-dessus, on obtient

S n = a + (a + d) + (a + 2d) + …….. + (t – 2d) + (t – d) + t …(1)

Après avoir écrit l'équation (1) dans l'ordre inverse

S n =t + (t – d) + (t – 2d) + …….. + (a + 2d) + (a + d) + a …(2)

Maintenant, additionnez les équations (1) et (2), nous obtenons

2S n = (a + t) + (a + t) + (a + t) + …….. + (a + t) + (a + t) + (a + t)

2S n = n * (a + t)

S n = (n/2) * (a + t) …(3)

Remplaçons le dernier terme 't' par le nième terme dans l'équation 3, nous obtenons,

n ième terme = a + (n – 1) * d

S n = (n/2) * {a + a + (n - 1) * ré}

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

Exemple

Si on vous demande de trouver la somme des 30 premiers termes d'une suite 5, 11, 17, 23, ……

Solution:

une = 5, ré = une 2 – une 1 = 11 – 5 = 6

S n = (n/2) * {2a + (n – 1) * d}

S n = (30/2) * (2 * 5 + (35 – 1) * 6}

S n = (15) * (10 + 204)

S n = 15 * 214

S n = 3210

Conclusion

En mathématiques, une progression arithmétique est une suite de nombres où la différence entre deux termes consécutifs est toujours constante. Nous pouvons trouver de multiples exemples de progression arithmétique dans notre vie quotidienne. Par exemple, le nombre d'inscriptions d'étudiants dans un lot, les mois d'une année, etc.

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